Question

我在某处读到这句话，任何AVL树T的节点都可以是“红色”和“黑色”，这样T就会变成红黑树。

这句话似乎很有说服力，但我不明白如何正式证明这一陈述。

根据wiki，红黑树应该满足这五个属性：

a.A节点为红色或黑色。

b。根是黑色的。有时会省略此规则。由于根总是可以从红色变为黑色，但不一定相反，

℃。所有叶子（NIL）都是黑色的。

d。如果节点为红色，则其子节点均为黑色。

e。从给定节点到其任何后代NIL节点的每条路径都包含相同数量的黑色节点。

这四个条件很简单，我卡住了如何证明声明5

Answer 1

首先，定义树的高度（用于AVL树）：

height(leaf) = 1
height(node) = 1 + max(height(node.left), height(node.right))

此外，定义路径的深度（用于红黑树，路径是从给定节点到某些叶子的后代链）到是路径上的黑色节点数。

正如您所指出的，将AVL树着色为红黑树的棘手问题是确保每条路径都具有相同的深度。您将需要使用AVL不变量：任何给定节点的子树的高度最多可以相差一个。

直观地说，诀窍是使用着色算法，其深度对于给定高度是可预测的，这样您就不需要进行任何进一步的全局协调。然后，您可以在本地调整着色，以确保每个节点的子节点具有相同的深度;这是可能的，因为AVL条件严格限制了它们的高度差。

这种树着色算法可以解决这个问题：

color_black(x):
  x.color = black;
  if x is a node:
    color_children(x.left, x.right)

color_red(x):  // height(x) must be even
  x.color = red
  color_children(x.left, x.right)  // x will always be a node

color_children(a,b):
  if height(a) < height(b) or height(a) is odd:
    color_black(a)
  else:
    color_red(a)
  if height(b) < height(a) or height(b) is odd:
    color_black(b)
  else:
    color_red(b)

对于AVL树的根，请致电color_black(root)以确保b。请注意，树以深度优先顺序遍历，也确保了。

请注意，红色节点的高度均匀。叶子的高度为1，因此它们将被涂上黑色，确保c。红色节点的孩子要么具有奇数高度，要么比他们的兄弟短，并且将被标记为黑色，确保d。

最后，要显示e。（来自root的所有路径都具有相同的深度），在n>=1上使用归纳来证明：

for odd height = 2*n-1，
- color_black（）创建一个红黑树，深度为n
for even height = 2*n，
- color_red（）将所有路径设置为深度n
- color_black（）创建深度为n+1

基本案例，适用于n = 1：

对于奇数height = 1，树是叶子;
- color_black（）将叶子设置为黑色;唯一的路径有深度1，
对于偶数height = 2，根是一个节点，两个孩子都是叶子，上面标记为黑色;
- color_red（）将节点设置为红色;两条路径都有深度1
- color_black（）将节点设置为黑色;两条路径都有深度2

归纳步骤是我们使用AVL不变量的地方：兄弟树的高度差异最多为1.对于具有给定height的节点：

subcase A：两个子树都是(height-1)
subcase B：一个子树为(height-1)，另一个为(height-2)

归纳步骤：假设n假设为真，则表明它适用于n+1：

表示奇height = 2*(n+1)-1 = 2*n+1，

subcase A：两个子树的高度均为2*n
- color_children（）为两个孩子调用color_red（），
- 通过归纳假设，两个孩子都有深度n
- 表示父级，color_black（）为深度n+1
subcase B：子树的高度为2*n和2*n-1
- color_children（）调用color_red（）和color_black（），resp;
- 对于偶数高度2*n，color_red（）会产生深度n（感应效果）
- 对于奇数高度2*n-1，color_black（）会产生深度n（感应效果）。
- 表示父级，color_black（）为深度n+1

表示偶数height = 2*(n+1) = 2*n + 2

subcase A：两个子树都有奇数高度2*n+1 = 2*(n+1)-1
- color_children（）为两个孩子调用color_black（），深度为n+1
- 从上面的奇数高度案例中，两个孩子都有深度n+1
- 表示父级，color_red（）添加一个红色节点，用于未更改的深度n+1
- 表示父级，color_black（）为深度n+2
subcase B：子树的高度为2*n+1 = 2*(n+1)-1和2*n
- color_children（）为两个孩子调用color_black（），深度为n+1
- 为奇数高度2*n+1，color_black（）产生深度n+1（见上文）
- 对于偶数高度2*n，color_black（）会产生深度n+1（感应效果）。
- 表示父级，color_red（）添加红色节点，深度为n+1
- 表示父级，color_black（）为深度n+2 = (n+1)+1

Answer 2

嗯，＃5的简单情况是单个后代，它是一个叶子，＃3是黑色的。

否则，后代节点为红色，要求＃4有2个黑色后代。

然后这两个案例递归地应用于每个节点，因此您在每个路径中始终具有相同数量的黑色节点。

将AVL树转换为红黑树

2 个答案: