如何在函数式语言中形式化数字塔？

Question

每个人都知道在依赖类型的函数语言中表达自然数的优雅方式：

data Nat = Zero | Succ Nat

整数，分数，实数，复数和四元数对实际编程应用也非常重要。可以将它们实现为：

data Integer    = Integer (sign : Bool) (modulus : Nat)
data Fraction   = Fraction (dividend : Nat) (divisor : Nat)
data Real       = Real (exponent : Integer) (fraction : Nat)
data Complex    = Complex Real Real
data Quaternion = Quaternion Real Real Real Real

但这些都没有像Nats那样真实地反映出他们类型的实际结构/性质。例如，整数与实际整数不同构（因为零出现两次）。 Reals需要超过一百万个细胞存储（3.141592），但是甚至不需要100个存储（4096），这看起来是不平衡的。复杂只是Reals的一个元组，它并不真正反映复杂的东西。我想知道在函数式编程语言中表达数字塔的自然，优雅方式是什么？

Answer 1

我意识到这是一个老问题，我的回答是在Scala而不是Haskell / Idris中，但是看看他们如何在Spire中做到这一点会很有趣。方法是首先建立代数结构的层次结构（即Semigroup / Group / Ring / Field / etc。）然后在数据类型之上实例化那些，从数值方法添加各种算法。我相信我可以在那里找到一些有用的想法。