Question

我正在尝试在Matlab中构建一个矩阵，其中行的总和是不变的，但每个组合都被考虑在内。

例如，取一个NxM matrix，其中M是固定数字，N取决于K，所有行必须求和的结果。例如，说K = 3和M = 3，这将给出矩阵：

[1,1,1
2,1,0
2,0,1
1,2,0
1,0,2
0,2,1
0,1,2
3,0,0
0,3,0
0,0,3]

目前，我首先创建所有可能组合的矩阵，而不考虑总和（例如，这也包含[2,2,1]和[3,3,3]）然后扔掉和不等于K

的元素

然而，这是非常低效的内存（特别是对于较大的K和M），但我没想到在没有首先构造总矩阵的情况下构造这个矩阵的好方法。

这可能是一个很好的方式吗？或者我应该使用一大堆for循环？

Answer 1

这是一个使用动态编程的非常简单的版本。动态编程的基本思想是建立一个数据结构（这里是S），它保存同一问题的较小实例的中间结果。

M=3;
K=3;
%S(k+1,m) will hold the intermediate result for k and m
S=cell(K+1,M);
%Initialisation, for M=1 there is only a trivial solution using one number.
S(:,1)=num2cell(0:K);
for iM=2:M
    for temporary_k=0:K
        for new_element=0:temporary_k
            h=S{temporary_k-new_element+1,iM-1};
            h(:,end+1)=new_element;
            S{temporary_k+1,iM}=[S{temporary_k+1,iM};h];
        end        
    end
end
final_result=S{K+1,M}

Answer 2

这可能比原始方法更有效，尽管它仍会生成（然后丢弃）比所需更多的行。

让M表示列数，S表示所需的总和。该问题可以解释为将长度为S的区间划分为具有非负整数长度的M子区间。

想法是生成而不是子区间长度，但是子区间边;从那些计算子区间长度。这可以通过以下步骤完成：

M-1和0之间的子区间边是S个整数值（不一定不同）。这些可以使用例如Cartesian product生成为this answer。
对间隔边进行排序，并删除重复的边集。这就是为什么算法不是完全有效的原因：它产生重复。但希望丢弃的暂定解决方案的数量将少于原始方法，因为这确实考虑了固定金额。
从边缘计算子区间长度。每个长度是两个连续边之间的差异，包括0处的固定初始边缘和S处的最终边缘。

代码：

%// Data
S = 3; %// desired sum
M = 3; %// number of pieces

%// Step 1 (adapted from linked answer):
combs = cell(1,M-1);
[combs{end:-1:1}] = ndgrid(0:S);
combs = cat(M+1, combs{:});
combs = reshape(combs,[],M-1);

%// Step 2
combs = unique(sort(combs,2), 'rows');

%// Step 3
combs = [zeros(size(combs,1),1) combs repmat(S, size(combs,1),1)]
result = diff(combs,[],2);

结果以lexicographical order排序。在您的示例中，

result =
     0     0     3
     0     1     2
     0     2     1
     0     3     0
     1     0     2
     1     1     1
     1     2     0
     2     0     1
     2     1     0
     3     0     0

具有固定总和的行的Matlab矩阵

2 个答案: