Question

这个问题的想法是探索无向图的所有节点及其所有邻居。

每个联盟都有相关的权重。我们的想法是使最大可能配对与最小权重。

考虑到一旦创建，无法加入。要实现此算法，使用分支和绑定，我必须找到上限和下限。

我的想法是有一个解决方案列表和一个部分列表，其中我介绍了所有可能的邻居对。

然后比较成本是否更低，添加到解决方案列表中。

问题是我不知道用于实现这些界限的启发式方法

伪代码有什么想法吗？

此致

修改

对不起，我离开了这么开放的问题。让我解释一下这个问题。

在图像中，有三个工会观察到。（1,3），（2,5），（6,4）。

这些是最佳工会。

对于最优解，必须满足一对（x，y）的并集的权重最小而“x”和“y”永远不会再次匹配

我认为的一个条件是：如果满足以下条件，则返回所有匹配的列表解决方案：

len (G.nodes ()) / 2 == len (solutions)

我使用贪婪算法。

迭代所有节点并加入未访问且权重最小的邻居。

但是这样，我无法保证最优性。

Answer 1

正如Abdallah Sobehy在给你的评论中写道，这更像是一个公开的讨论而不是一个问题，并且可能（目前的形式）不适合SE。但是，我会给它一个镜头，并在此处发布，而不是由于其长度而在评论中发布。

对于这个讨论，让我们将完整的无向图表示为G（N，E），带有一组节点和一组边E.我们还假设G中的节点数是偶数。

无论如何，在分支定界（BAB）的背景下，你的上限自然是你最好的（最便宜的）现任（迄今为止）可行的解决方案。这种解决方案可以在初始化时非常容易地启发式构建，例如，

i.   let G' = G and E'=E
ii.  Choose a node, say i, randomly from G'.
iii. With i fixed, pick the edge in (i,j) in E' that minimises cost,     
     i.e., the cheapest edge from node i to any other node j in G'.
iv.  Remove nodes i and j from G', and remove all edges associated
     with nodes i and j from E'.
v.   Is G' non-empty? Go to ii. Otherwise, terminate.

或者上面的一些更聪明的变化。获得的可行解决方案应该是我们的初始上限，比如说UB。

现在，在BAB的背景下，人们通常会看到一个原始问题的放松，一个可以轻松解决到最优的问题;与一些整数线性程序（ILP）的连续松弛相比较，以获得线性程序（LP），使用单纯形法（一种BAB的常用方法）可以很容易地求解为最优性。

出于我们的目的，我们需要指定一种方法来将问题放宽到可以轻松解决的形式，其中这种放松形式的最优解决方案的成本低于原始问题的成本;因此为后者提供下限，比如说LB。如果我们用数学术语来形容问题，那就变得容易了。我们引入二进制变量x_ij（取值0或1），

x_ij := 1, if pairing between nodes i and j is used, i!=j
        0, otherwise
c_ij := cost (or weight) of using edge (i, j), i!=j

其中i，j = 1，...，| N |，i！= j。从现在开始，设n表示| N |，即n = | N |。

有了这个，我们可以说出以下二进制线性程序，比如说（BLP1）到

minimize     ∑{i = 1 to n} ∑_{j 1 to n, j!= i} (c_ij * x_ij)/2,  (a)
subject to   ∑{j != i} x_ij = 1,   for i = 1, ..., n,            (b)
                       x_ij ∈ {0, 1}.                            (c)

＆＃34; / 2＆＃34;考虑到 - 以目标函数和的形式 - 每对将与两个非零x_ij变量相关联（即，计数两次）;如果是节点1和4配对，x_（1,4）= x_（4,1）= 1。 n个约束（b）确保每个节点将与其他一个节点配对。

这个程序可以通过用连续放松替换双线性约束（c）来放宽，即用（c）替换为：

                       x_ij ∈ [0, 1],                            (c')

产生以下线性程序，比如说（LP1），到

minimize     ∑{i = 1 to n} ∑_{j 1 to n, j!= i} (c_ij * x_ij)/2,  (a)
subject to   ∑{j != i} x_ij = 1,   for i = 1, ..., n,            (b)
                       x_ij ∈ [0, 1].                            (c')

（BLP1）的解空间显然是（LP1）的子空间，因此（LP1）的最优解产生（BLP1）最优解的下界。由于（LP1）是一个线性程序，它可以通过Simplex方法轻松解决，使用您喜欢的任何喜欢的优化库。

现在，对于BAB过程，求解（LP1）并在其最优解中，选择一些分数x_ij，即一些x_ij∈（0,1），我们将在（LP1）的分支子中---强制执行（向上削减）或排除（向下削减）。让我们来表示这个变量x_ab。在这个x_ab变量上分支，w.r.t。图形匹配问题，可以描述为：＆＃34;在后续子问题中使用边缘（a，b）强制执行权重（x_ab = 1），或强制完全排除边缘（a ，b）（x_ab = 0）在随后的子问题＆＃34; 。

分支x_ab产生---来自（LP1）---两个子问题，比如说（LP1down）和（LP1up），形式如下

(LP1down)
minimize     ∑{i = 1 to n} ∑_{j 1 to n, j!= i} (c_ij * x_ij)/2,  (a)
subject to   ∑{j != i} x_ij = 1,   for i = 1, ..., n,            (b)
                       x_ij ∈ [0, 1],                            (c')
                       x_ab = 0,                                 (d1)

(LP1up)
minimize     ∑{i = 1 to n} ∑_{j 1 to n, j!= i} (c_ij * x_ij)/2,  (a)
subject to   ∑{j != i} x_ij = 1,   for i = 1, ..., n,            (b)
                       x_ij ∈ [0, 1],                            (c')
                       x_ab = 1,                                 (d2)

只需重新解决这些线性编程问题（LP1down）和（LP1up），并迭代重复分支/求解过程，直到可以通过以下方式修剪子问题：

bound: the optimal (linear programming) solution of some sub-problem 
       is larger than the UB of the original problem (BLP1). This mean
       proceeding along such a branch will never give a better (BLP1)
       solution than the best incumbent one.

optimality: optimal (linear programming) solution of some sub-problem
            is binary valued -> feasible in (BLP1).
              -> update UB with new best incumbent solution.

infeasibility: some sub-problem is infeasible; branching upon it will
               still yield an infeasible problem.

如果您运行BAB流程直到终止，您将保证最佳性（大问题的问题是易处理性）。请注意，如果节点数为奇数，则（BLP1）将不可行。

如果您不想使用线性编程技术，请尝试构建自己的方法来放松原始问题，使其具有以下属性

原始问题的解决方案空间是您放松问题的解决方案空间的一个子集。
通过某种方式可以轻松解决轻松的问题，例如试探法。
决定什么＆＃34;分支＆＃34;在您的上下文中意味着：我建议修复包含排除节点对的内容。

然后简单地重复使用上面简要介绍的一般BAB方法。如果您更深入地了解BAB，有几种方法可以通过选择首先处理哪些子问题（＆＃34;节点选择＆＃34;）或哪些变量（在正式处理中）进行分支来改进框架（＆＃ 34;分支规则＆＃34;）。

使用分支和绑定的节点的最佳匹配

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