确定最大开放空间的有效算法

Question

我有一种情况，如下图所示，这需要我找出一个区域内最大的圆圈（开放空间）。在下面的例子中，黑色圆圈是固定的已知位置，我需要找到不触及黑色圆圈的最大区域（由橙色和绿色圆圈表示）。在下面的示例中，橙色圆圈是最大的开放空间，这是我想要计算的区域。

我可以强行它，选择一个位置并展开一个圆圈，直到它碰到一个黑点，然后只记录圆圈的位置和半径（开放空间）但是这将大大低效地迭代所有可能的位置。

是否有一种有效的方法来分析此实例中最大的开放空间？请注意，此字段上的最大黑点数将为15，但可能会低很多。

编辑感谢Yves和所有其他评论者。根据答案和其他评论做出的一些澄清。黑盒子是绑定的，因此定义的任何区域必须在黑盒子内。黑色圆圈的半径是已知的并且是静态的，但是出于这些目的，它们可以减少到点。最后，圆的近似是可以接受的。它将用于AI例程中，该例程在确定哪个区域最佳时具有误差范围。因此，如果圆圈在半径或位置略微偏离，那么它将不是一个大问题。

我目前正在研究Voronoi方法，我认为我理解它，但现在尝试拉出适合的算法就是问题！我会测试并回复你。

编辑2 ：感谢Yves，我查看了Voronoi图，并使用了一种简单的方法循环遍历所有Voronoi顶点（以及它穿过边界框的点）并找到了最大的圆圈中心点不包含任何＆＃34;黑圈＆＃34;。使用相对较小的有限点集，我很满意这个实现。请参阅下面的结果，在空白处显示前3个空心圈。

Answer 1

这被称为“最大的空心圆”问题。它可以通过Voronoi图有效地解决。

如果黑色圆圈的直径有限，您可以将它们缩小到中心，然后从找到的解决方案中推导出半径。

无论如何，如果允许圆圈对抗矩形，则需要修改算法以解决此问题。这是一项非常重要的任务。

<强>更新：

相关问题在“TOUSSAINT，Godfried T.计算最大的空圈子，位置有限。国际计算机与信息科学杂志，1983,12.5：347-358”和“CHEW，L。Paul; DRYSDALE， Scot。找到位置有限的最大空心圈。1986年。“当中心被约束在给定的凸多边形内时，它描述了一种有效的解决方案。 （但你要求我完全控制圆圈。）

数字域中可能采用完全不同的方法（处理离散图像，有限大小的像素）：您可以计算欧几里德距离映射到黑色像素。有一种非常智能的高效算法可以在线性时间内实现（图像大小，而不是障碍物的数量）;参见“A. Meijster，J。B. T. M. Roerdink和W. H. Hesselink，计算线性时间距离变换的通用算法”。

计算出距离贴图后，所需圆的中心是距离值最大的像素。这种方法适用于任何形状的障碍物。

<强>更新：

在您的情况下，由于障碍物的数量很少，因此可以接受详尽的搜索。您需要尝试通过3个点的圆圈，经过2个点并与边缘相切，或者通过1个点并切线到2个边缘。

对于所有这些圈子，请检查它们是否包含其他点并保持最大值。原则上，这需要时间O（N ^ 4）。显然，这种复杂性可以降低到O（N³），但我在这个问题上找到的每个条目都描述了基于Voronoi的方法而不是详尽的方法。