Question

我想我已经大致了解了免费monad是什么，但我希望有一个更好的方法可视化它。

有意义的是，自由岩浆只是二元树，因为它是＆＃34;一般＆＃34;因为你可以不丢失任何信息。

同样，有意义的是，免费幺半群只是列表，因为操作的顺序并不重要。现在在＆＃34;二叉树＆＃34;中存在冗余，所以如果有意义的话，你可以将它展平。

由于类似的原因，自由群体看起来像分形是有道理的：https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph#/media/File:Cayley_graph_of_F2.svg 为了获得其他群体，我们只是将群体中的不同元素识别为＆＃34;相同＆＃34;我们得到其他团体。

我应该如何看待免费的monad？现在，我只是把它想象成你能想象的最通用的抽象语法树。这本质上是吗？还是我过分简化了？

此外，类似地，从免费monad到列表或其他monad我们会失去什么？我们认为什么是＆＃34;相同＆＃34;？

我感谢所有能够阐明这一点的评论。谢谢！

Answer 1

现在，我只想到[免费monad]作为你能想象到的最通用的抽象语法树。这本质上是吗？还是我过分简化了？

你过分简单了：

“免费monad”是“免费monad 优于特定仿函数”或Free f a数据类型的缩写，实际上每个f数据类型都是Free。 1}}。
所有免费的monad都没有一个通用的结构。他们的结构分解为：
- f本身贡献的内容
- {-# LANGUAGE GADTs #-} data Program instr a where Return :: a -> Program instr a Bind :: instr x -- an "instruction" with result type `x` -> (x -> Program instr a) -- function that computes rest of program -> Program instr a -- a program with result type `a`

但我们采取不同的方法。我通过首先研究密切相关的operational monad来学习免费的monad，它具有更均匀，更易于可视化的结构。我强烈建议你从链接本身学习。

定义操作monad的最简单方法是：

instr

...其中data StackInstruction a where Pop :: StackInstruction Int Push :: Int -> StackInstruction ()类型参数表示monad的“指令”类型，通常是GADT。例如（取自链接）：

Program

操作monad中的Bind，非正式地，我将其可视化为指令的“动态列表”，其中由任何指令的执行产生的结果用作决定的函数的输入什么是“指令清单”的“尾巴”。 Functor构造函数将指令与“尾选择器”函数配对。

许多免费的monad也可以用类似的术语表示 - 你可以说为给定的免费monad选择的仿函数作为它的“指令集”。但是对于免费的monad，“指令”的“尾巴”或“孩子”由data Free f r = Free (f (Free f r)) | Pure r -- The `next` parameter represents the "tails" of the computation. data Toy b next = Output b next | Bell next | Done instance Functor (Toy b) where fmap f (Output b next) = Output b (f next) fmap f (Bell next) = Bell (f next) fmap _ Done = Done本身管理。这是一个简单的例子（取自Gabriel González's popular blog entry on the topic）：

Program

在操作monad中，用于生成“tail”的函数属于Bind类型（在Functor构造函数中），在free monads中，tails属于“instruction”/ { {1}}类型。这允许免费monad的“指令”（现在正在分解的类比）具有单个“尾部”（如Output或Bell），零尾（如Done）或如果您愿意，可以选择多个尾巴。或者，在另一种常见模式中，next参数可以是嵌入函数的结果类型：

data Terminal a next = 
    PutStrLn String next
  | GetLine (String -> next)  -- can't access the next "instruction" unless
                              -- you supply a `String`.

instance Functor Terminal where
    fmap f (PutStrLn str next) = PutStrLn str (f next)
    fmap f (GetLine g) = GetLine (fmap f g)

顺便提一下，对于将自由或操作monad称为“语法树”的人来说，这是一个异议。对它们的实际使用要求节点的“子节点”不透明地隐藏在函数内。你通常不能完全检查这个“树”！

所以，实际上，当你了解它时，如何可视化一个免费的monad完全归结为你用来参数化它的Functor的结构。有些看起来像列表，有些看起来像树，有些看起来像“不透明的树”，功能作为节点。（有人曾经用一句话来回应我的反对意见，例如“一个函数是一个有很多孩子的树节点，就像有可能的论点一样。”）

Answer 2

你可能听说过

Monad是endofunctors类别中的monoid

你已经提到过monoid只是列表。所以你有。

扩展一点：

data Free f a = Pure a
              | Free (f (Free f a))

它不是a的正常列表，而是尾部包含在f内的列表。如果您编写多个嵌套绑定的值结构，您将会看到它：

pure x >>= f >>= g >>= h :: Free m a

可能导致

Free $ m1 $ Free $ m2 $ Free $ m3 $ Pure x
  where m1, m2, m3 :: a -> m a -- Some underlying functor "constructors"

如果上面示例中的m是总和类型：

data Sum a = Inl a | Inr a
  deriving Functor

然后列表实际上是一棵树，因为在每个构造函数中我们可以向左或向右分支。

您可能听说过

Applicative是endofunctors类别中的monoid

......类别不同。 Roman Cheplyaka's blog post中有不同的免费应用编码可视化。

所以免费Applicative也是一个列表。我将它想象为f a值的异构列表，以及单个函数：

 x :: FreeA f a
 x = FreeA g [ s, t, u, v]
    where g :: b -> c -> d -> e -> a
          s :: f b
          t :: f c
          u :: f d
          v :: f e

在这种情况下，尾部本身并不包裹在f中，而是分别包含每个元素。这可能有助于理解Applicative和Monad之间的差异。

请注意，f并非需要Functor才能Applicative (FreeA f a)成为Free monad上面的Functor。

还有免费data Coyoneda f a = Coyoneda :: (b -> a) -> f b -> Coyoneda f a

* -> *

可生成任何Functor类型Applicative。将其与上面的免费f a进行比较。在应用案例中，我们有Coyoneda值的长度 n 的异构列表和组合它们的n元函数。 Coyoneda是上述1-ary特例。

我们可以将Free和Operational合并为{{1}}免费monad。正如其他答案所提到的那样，因为有涉及的功能，所以人们可以想象出一棵树。 OTOH你可以把这些延续想象成你图片中不同的神奇箭头：）

可视化免费Monad

2 个答案: