如何在C中实现连续分数的自然对数？

Question

我有一点问题。从这个公式创建一些东西：

这就是我所拥有的，但它并不起作用。弗兰基，我真的不明白它应该如何运作......我试着用一些不好的指示来编码它。 N是迭代次数和分数的部分。我认为它以某种方式导致递归，但不知道如何。

感谢您的帮助。

double contFragLog(double z, int n)
{
    double cf = 2 * z;
    double a, b;
    for(int i = n; i >= 1; i--)
    {
        a = sq(i - 2) * sq(z);
        b = i + i - 2;
        cf = a / (b - cf);

    }
    return (1 + cf) / (1 - cf);
}

Answer 1

中央循环混乱。返工。也不需要递归。只需先计算最深的术语，然后逐步解决问题。

double contFragLog(double z, int n) {
  double zz = z*z;
  double cf = 1.0;  // Important this is not 0
  for (int i = n; i >= 1; i--) {
    cf = (2*i -1) - i*i*zz/cf;
  }
  return 2*z/cf;
}

void testln(double z) {
  double y = log((1+z)/(1-z));
  double y2 = contFragLog(z, 8);
  printf("%e %e %e\n", z, y, y2);
}

int main() {
  testln(0.2);
  testln(0.5);
  testln(0.8);
  return 0;
}

输出

2.000000e-01 4.054651e-01 4.054651e-01
5.000000e-01 1.098612e+00 1.098612e+00
8.000000e-01 2.197225e+00 2.196987e+00

[编辑]

根据@MicroVirus的提示，我发现double cf = 1.88*n - 0.95;的效果优于double cf = 1.0;。随着使用更多术语，使用的值会产生较小的差异，但良好的初始cf需要较少的术语才能获得良好的答案，尤其是对于接近0.5的|z|。在我研究0 < z <= 0.5时，可以在这里做更多的工作。 @MicroVirus对2*n+1的建议可能与我的建议很接近，因为n已经过了一段时间。

这是基于反向计算，并注意CF[n]的值增加n。我很惊讶种子＆＃34;值似乎不是一个很好的整数方程式。

Answer 2

这是解决使用递归的问题的解决方案（如果有人感兴趣的话）：

#include <math.h>
#include <stdio.h>

/* `i` is the iteration of the recursion and `n` is
   just for testing when we should end. 'zz' is z^2 */
double recursion (double zz, int i, int n) {
  if (!n)
    return 1;

  return 2 * i - 1 - i * i * zz / recursion (zz, i + 1, --n);
}

double contFragLog (double z, int n) {
  return 2 * z / recursion (z * z, 1, n);
}

void testln(double z) {
  double y = log((1+z)/(1-z));
  double y2 = contFragLog(z, 8);
  printf("%e %e %e\n", z, y, y2);
}

int main() {
  testln(0.2);
  testln(0.5);
  testln(0.8);
  return 0;
}

输出与上述解决方案相同：

2.000000e-01 4.054651e-01 4.054651e-01
5.000000e-01 1.098612e+00 1.098612e+00
8.000000e-01 2.197225e+00 2.196987e+00