Question

自然数可以使用二进制表示形式在对数空间中表示（此处为little-endian）：

-- The type of binary numbers; little-endian; O = Zero, I = One
data Bin = O Bin | I Bin | End

然后可以实施a和b的添加，例如，在{{1}上调用successor函数（O(log(N))）a次}}。这种实现的问题在于它本质上是顺序的。为了添加2个数字，b个调用按顺序链接。 suc的其他实现（例如使用carry）遭受同样的问题。很容易看出，添加不能与该表示并行实现。 是否有自然数的表示，使用代数数据类型，它采用对数空间，并且可以并行添加？

插图代码：

add

Answer 1

有许多并行加法器架构。 Thomas Walker Lynch's master's thesis at the university of Texas at Austin, 1996给出了一个很好的评论。参见9.1节，他总结了最坏情况下的路径长度。

Lynch和Swartzlander加法器（L＆amp; S）的最坏情况路径长度为2 * ceil（log4（N））+ 2，其中N是该位数。该架构在他们的论文 A Spanning Tree Carry Lookahead Adder 中提供。

您可以通过Google搜索“快速加法器”找到有关许多简单架构的出色解释。

Answer 2

您没有说每个自然数必须具有唯一的表示。所以，这是另一种选择。（我没有发明它，但我不记得它叫什么，所以我不得不重建它是如何工作的。）

将数字表示为基数2中的数字串，如二进制，除了不限于数字0和1，我们还允许使用数字2.例如，数字2有两个表示， 10和2。

要添加以这种方式表示的两个数字，只需按数字方式添加它们而不携带。显然，我们可以并行有效地做到这一点（线性尺寸，恒定深度电路）。那么，现在我们遇到了一个问题：结果数字具有正确的base-2值，但其数字不一定是0,1或2，但可能大到4。

所以让我们通过以下进位传播来解决这个问题：将结果的每个数字写成两位二进制数，其中第二个数字是0或1，第一个数字可以是0,1或2.（所以0 - > 00,1 - > 01,2 - > 10,3 - > 11,4 - > 20.）现在“携带”每个这两位数字的第一个数字到左边，离开在第二个数字后面，但没有执行任何其他结果。例如，如果我们从数字

开始

 314102    (perhaps from the original problem of computing 212001 + 102101)

我们执行总和

11       = 3
 01      = 1
  20     = 4
   01    = 1
    00   = 0
     10  = 2
-------
1130110

新数字具有相同的base-2值，其数字现在在0到3的范围内，因为它们是由0,1或2的数字和0的数字之和形成的1.此外，结果的每个数字仅取决于相应的数字和步骤中数字右侧的数字，因此可通过另一个线性尺寸，恒定深度电路实现。

这还不够好，所以让我们再一次进行相同的进位传播。现在，4不再是一个可能的输入数字，所以我们携带的数字永远不会是2，只有0或1.所以这次程序将导致只使用数字0,1和2的基数2表示，这就是我们想要的。在上面的示例中，结果将为1210110。（当然，具有相同base-2值的任何其他表示也是正确的。）

（对于基数和最大数字的其他组合，您可能只需要一个进位传播通道。例如，如果您使用数字0,1,2,3和4表示基数3中的数字，则出现在sum是8，因此进位传播传递中涉及的两个数字将在0,1,2范围内，并且它们的总和最多为4。）

现在，如果你想对这种表示做其他操作，例如比较两个数字是否相等，一个选项是按线性时间串行转换为二进制，或者使用Lior Kogan所描述的快速加法器并行转换为二进制回答。事实上，将此表示转换为二进制基本上等同于在二进制中添加数字的问题，因为我们可以将212001之类的表示视为“正式加法”101000 + 111001。但是，您可能无法像二进制一样在恒定深度中测试此表示中的相等性。我认为，考虑到你的其他限制因素，在这种加法或相等测试意义上的“硬度”是必不可少的，尽管我不确定。

Answer 3

如何描述自然数的并行加法的一个简单方法是：如果你看full adder circuit，它有3个输入位，它输出一个2位数字，表示有多少输入位是1 。这也是它有时被称为3:2 compressor的原因。从它们我们可以创建一个并行添加3个二进制数的电路，以产生2个二进制数。这也称为carry-save adder电路，因为我们将它们作为另一个独立的数字而不是传播进位。然后（冗余地）将每个数字表示为一对二进制数。当添加 k 自然数时，我们可以在每一步将三元组减少为元组，只需 O（log k）时间步。

但问题是，如果我们仅限于ADT，我们有一组固定的构造函数，每个构造函数都有有限数量的记录。所以无论如何，这种结构的深度将是 O（log n）。我们必须执行 O（log n）步骤才能遍历结构。

是否存在允许并行加法的自然数的代数表示？

3 个答案: