如何将N个数字分成N / 2组（每组2个数字），使得每组中2个数字之间的差异总和最小？

Question

一般问题描述

嗨，这实际上是一个特殊的分配问题（如果感兴趣，请查看wiki）。假设我有10个代理，表示为 A1，A2，... A10 ，我需要它们成对工作。虽然根据以前的经验，我知道每个双代理对的工作效率，所以我有一个如下所示的效率矩阵，（i，j）元素代表代理对的工作效率< em>（Ai，Aj）。因此，我们知道它应该是一个对称矩阵，这意味着 E（i，j）= E（j，i）和 E（i，i）应该是0现在，我需要将这10个代理分成5组，这样整体（总和）效率最大。

E =

 0    25    28    23    39    77    56    58    85    41
25     0    18    77    32    52    69    59    47    18
28    18     0    20    55    75    63    38     5    56
23    77    20     0    59    76    24    82    68    64
39    32    55    59     0    49    70    28    42    31
77    52    75    76    49     0    33    84    50    29
56    69    63    24    70    33     0    15    49    83
58    59    38    82    28    84    15     0    68    40
85    47     5    68    42    50    49    68     0    56
41    18    56    64    31    29    83    40    56     0

N.B。

1. 从这个问题的矩阵视图中，我需要从上面的矩阵中选择5个元素，这样它们都不会与其他元素共享相同的索引。 （如果选择 E（2,3），那么由于分配了 A2 和 A3 ，您无法选择索引包含2或3的任何元素换句话说，你不能从第2，第3行和第2，第3列中挑选任何元素。）
2. 此问题的标题与上面提到的特殊任务问题相同。
3. 您可能会发现Hungarian(munkres) algorithm有帮助！ Here是 matlab 代码。
4. 此问题的另一个观点是解决正常分配问题，但我们需要找到一个解决方案，其元素关于对角线对称分布。
5. 直接将匈牙利语（munkres）算法应用于对称效率矩阵并不总是有效。有时它会给出不对称的排列，例如

E =

 0    30    63    32    20    40
30     0    67    84    75    63
63    67     0    37    79    88
32    84    37     0    43    59
20    75    79    43     0    56
40    63    88    59    56     0

最佳解决方案是：

assignment =

 0     0     0     0     0     1
 0     0     0     1     0     0
 1     0     0     0     0     0
 0     1     0     0     0     0
 0     0     1     0     0     0
 0     0     0     0     1     0

Answer 1

这可以解决为weighted maximum matching problem，其中：

G = (V,E,w)
V = { all numbers } 
E = { (v,u) | v,u in V, v!=u }
w(u,v) = -|u-v|

最大匹配的解决方案将配对所有顶点（数字），使得sum { -|u-v| : u,v paired }的总和最大，这意味着sum { |u-v| : u,v paired最小。