我想将有向无环图分解为最小数量的组件，以便在每个组件中以下属性成立 - 对于组件中的所有顶点对（u，v），存在从u到v 或从v到u的路径。
这有什么算法吗？
我知道在条件中由和替换或替换时，它与查找强连接组件的数量（使用DFS可能）相同。
*编辑：* 如果定向图包含循环（即它不是非循环的）会发生什么？
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我的想法是使用DFS在拓扑上对O（n）进行排序，然后考虑这个属性可以为假的顶点。对于那些从2个不同的分支加入，或者分成2个不同分支的人来说，这可能是错误的。
我会从任何起始顶点（拓扑排序最低）开始，并按照它的路径进入随机分支，直到你不能再进一步从图形（第一个组件）中删除这条路径。这将重复到图表是空的，你有所有这些组件。
这似乎是一个贪婪的算法，但考虑到你在第一次运行中找到一个非常短的路径（通过随机运气不好）或者你找到了一条最长的路径（好运）。然后你仍然需要在另一个算法步骤中找到那个小分支组件。
复杂性将是O（n *组件数）。
当存在和条件时，您应该考虑任何定向图，因为DAG不能具有强连接组件。
答案 1 :(得分：0)
现有的两个答案都存在我在评论中概述的问题。但是，为什么没有分解成组件可以在一般情况下起作用，这是一个更为根本的原因。首先，让我们简明扼要地表达关系＆＃34; u和v属于分解的相同组成部分＆＃34;作为你#v。
为了将关系＃表示为组件中的顶点，该关系必须是equivalence relation，这意味着它必须transitive：即，如果x＃y和y #z，x＃z必定是真的。我们的关系是#transitive？不幸的是答案是＆＃34; No＆＃34;，因为它可能是从x到y的路径（所以x＃y），以及从z到y的路径（所以y＃z），但是没有从x到z或从z到x的路径（因此x＃z 不保持），如下图所示：
z
|
|
v
x----->y
问题在于，根据上图，x和y属于同一个组件，y和z属于同一个组件，但x和z属于不同的组件，这是矛盾。这意味着，通常，不可能将关系＃表示为对组件的分解。
所以一般没有解决方案 - 但是仍然可以存在关系＃恰好是传递的输入图，因此我们可以为此计算解决方案。这是一种方法（虽然可能不是最有效的方式）。
计算所有顶点对之间的最短路径（使用例如Floyd-Warshall algorithm，在n（顶点）的O（n ^ 3）时间内。现在，对于每个顶点对（u，v），d（u，v）= inf，表示根本没有办法从u到达v，表明从u到v有一些路径。回答问题＆＃34;你是否持有？＆＃34; （即＆＃34;你和v属于分解的同一个组成部分吗？＆＃34;），我们可以简单地计算d(u, v) != inf || d(v, u) != inf。
这为我们提供了一种关系，我们可以用它来构建无向图G＆＃39;其中有一个顶点u＆＃39;对于每个原始顶点u，以及两个顶点之间的边缘u＆＃39;和v＆＃39;当且仅当d(u, v) != inf || d(v, u) != inf。直观地说，此新图表中的每个连接组件都必须是clique。通过首先从每个顶点执行一系列DFS遍历为每个顶点分配一个组件标签，然后检查每对顶点是否属于同一组件，当且仅当如此时，可以在O（n ^ 2）时间内检查此属性它们通过边缘连接起来。如果属性成立，那么得到的派系对应于期望的分解;否则，没有有效的分解。
有趣的是，有些图形不是强连接组件链（如claimed by Zotta），但它们确实具有传递性＃关系。例如，tournament是一个有向图，其中在每个顶点之间在某个方向上有一条边 - 所以在这样的图中，每个顶点对都是明确的＃。但是，如果我们将顶点1编号为n并且仅包括从较低编号到较高编号顶点的边，则不会有循环，因此图形没有强连接（如果n> 2，那么显然它是＆＃39 ;不是路径。）