Question

P = (10^9 + 7)
Choose(m, n) = m! / (n! * (m - n)!)

我想为大Choose(m, n) mod P和m计算n的值。我怎么能用C ++做到这一点？

Answer 1

这是我使用的，因为它具有相当好的范围而没有太多的中间溢出。然而，C（n，k）变得很快，毕竟它是O（n ^ k）。

size_t N_choose_K(size_t n, size_t k)
{
    size_t numer = 1;
    size_t denom = 1;
    if (k > n - k) {
        k = n - k;
    }
    while (k > 0) {
        numer *= n;
        denom *= k;
        --n; --k;
    }
    return numer / denom;
}

编辑：假设您需要整体结果。如果需要，您可以移动到浮点结果并获得更多范围，并且可能会失去准确性。

Answer 2

你可以使用在 Z _p 下关闭乘法的事实，这意味着： ab mod p =（a mod p）（b mod p）mod p 的。使用这个定理，可以有效地计算 a ^b mod p （例如，这个Python implementation。

接下来我们可以使用 Euler定理说： a ^-1 mod p = a ^{（p-2）< / sup> mod p}。

现在我们知道了这些事实，我们可以提出一个有效的解决方案：首先我们乘以分子中的所有元素，因此这是从 k + 1 （包括）到<的范围em> n ，因为这是一个乘法，我们总是可以执行一个模数：

long long numerator(int n, int k, int p) {
    long long l = 1;
    for(int j = k+1; j <= n; j++) {
        l = (l*j)%p;
    }
    return l;
}

现在我们仍然需要将它除以（n-k）！。我们可以通过首先计算（n-k）来做到这一点！ mod p 就像我们在前面的代码片段中已经做过的那样：

long long denominator(int n, int k, int p) {
    long l = 1;
    for(int j = 2; j <= n-k; j++) {
        l = (l*j)%p;
    }
    return l;
}

现在为了划分它，我们可以在denominator的结果上使用欧拉定理。因此，我们首先使用modulo：

实现pow函数

long long pow(long long a, int k, int p) {
    if(k == 0) {
        return 1;
    }
    long long r = pow((a*a)%p,k>>0x01,p);
    if((k&0x01) == 0x01) {//odd number
        r = (r*a)%p;
    }
    return r;
}

现在我们可以将它们合并在一起，如：

long long N_choose_K(int n, int k, int p) {
    long long num = numerator(n,k,p);
    long long den = denominator(n,k,p);
    return (num*pow(den,p-2,p))%p;
}

所以你基本上做的是确定 Z _p 中的分子num，中分母den的值Z _p ，然后使用欧拉定理在 Z _p 中找到分母的倒数，这样您可以乘以并执行最后一个模运算。然后你可以退货。

如何找到大输入的选择（m，n）％P？

2 个答案: