我需要使用一些python代码，使用它们的转移矩阵的左特征向量找到马尔可夫模型的稳态。
已经在this question中建立了scipy.linalg.eig无法提供所描述的实际左特征向量，但是在那里展示了修复。官方文档像往常一样无用且难以理解。
比不正确的格式更大的问题是产生的特征值不是以任何特定的顺序（每次都没有排序和不同）。因此，如果你想找到对应于1个特征值的左特征向量，你必须寻找它们，这就构成了它自己的问题（见下文）。数学很清楚，但是如何让python计算并返回正确的特征向量并不清楚。这个问题的其他答案，如this one，似乎没有使用左特征向量，因此这些不是正确的解决方案。
This question提供了部分解，但它没有考虑较大转移矩阵的无序特征值。所以，只需使用
leftEigenvector = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
leftEigenvector = leftEigenvector / sum(leftEigenvector)
接近，但一般不起作用，因为[:,0]位置的条目可能不是正确特征值的特征向量（在我的情况下通常不是）。
好的，但是scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)的输出是一个数组，其中[0]元素是每个特征值的列表（不是任何顺序），并且在[1]位置跟随一系列特征向量，与这些特征值的顺序相对应。
我不知道通过特征值对整个事物进行排序或搜索的好方法来拉出正确的特征向量（特征值为1的所有特征向量通过向量条目的总和归一化。）我的想法是得到特征值的索引等于1，然后从特征向量数组中拉出那些列。我的这个版本很慢而且很麻烦。首先，我有一个函数（并不是很有效），可以在最后一个与值匹配的位置找到位置：
# Find the positions of the element a in theList
def findPositions(theList, a):
return [i for i, x in enumerate(theList) if x == a]
然后我像这样使用它来获得与特征值匹配的特征向量= 1。
M = transitionMatrix( G )
leftEigenvectors = scipy.linalg.eig(M,left=True,right=False)
unitEigenvaluePositions = findPositions(leftEigenvectors[0], 1.000)
steadyStateVectors = []
for i in unitEigenvaluePositions:
thisEigenvector = leftEigenvectors[1][:,i]
thisEigenvector / sum(thisEigenvector)
steadyStateVectors.append(thisEigenvector)
print steadyStateVectors
但实际上这并不起作用。有一个特征值= 1.00000000e+00 +0.00000000e+00j，即使其他两个也没有找到。
我的期望是我不是第一个使用python来查找马尔可夫模型的固定分布的人。更熟练/有经验的人可能有一个工作的一般解决方案（无论是否使用numpy或scipy）。考虑到Markov模型的流行程度，我希望有一个库可供他们执行此任务，也许它确实存在，但我找不到。
答案 0 :(得分：4)
您链接到How do I find out eigenvectors corresponding to a particular eigenvalue of a matrix?并表示它不会计算左特征向量，但您可以通过使用转置来解决此问题。
例如，
In [901]: import numpy as np
In [902]: import scipy.sparse.linalg as sla
In [903]: M = np.array([[0.5, 0.25, 0.25, 0], [0, 0.1, 0.9, 0], [0.2, 0.7, 0, 0.1], [0.2, 0.3, 0, 0.5]])
In [904]: M
Out[904]:
array([[ 0.5 , 0.25, 0.25, 0. ],
[ 0. , 0.1 , 0.9 , 0. ],
[ 0.2 , 0.7 , 0. , 0.1 ],
[ 0.2 , 0.3 , 0. , 0.5 ]])
In [905]: eval, evec = sla.eigs(M.T, k=1, which='LM')
In [906]: eval
Out[906]: array([ 1.+0.j])
In [907]: evec
Out[907]:
array([[-0.32168797+0.j],
[-0.65529032+0.j],
[-0.67018328+0.j],
[-0.13403666+0.j]])
In [908]: np.dot(evec.T, M).T
Out[908]:
array([[-0.32168797+0.j],
[-0.65529032+0.j],
[-0.67018328+0.j],
[-0.13403666+0.j]])
规范化特征向量（你知道应该是真实的）：
In [913]: u = (evec/evec.sum()).real
In [914]: u
Out[914]:
array([[ 0.18060201],
[ 0.36789298],
[ 0.37625418],
[ 0.07525084]])
In [915]: np.dot(u.T, M).T
Out[915]:
array([[ 0.18060201],
[ 0.36789298],
[ 0.37625418],
[ 0.07525084]])
如果您事先不知道特征值1的多重性，请参阅使用scipy.linalg.eig显示代码的@pv。＆评论。这是一个例子：
In [984]: M
Out[984]:
array([[ 0.9 , 0.1 , 0. , 0. , 0. , 0. ],
[ 0.3 , 0.7 , 0. , 0. , 0. , 0. ],
[ 0. , 0. , 0.25, 0.75, 0. , 0. ],
[ 0. , 0. , 0.5 , 0.5 , 0. , 0. ],
[ 0. , 0. , 0. , 0. , 0. , 1. ],
[ 0. , 0. , 0. , 0. , 1. , 0. ]])
In [985]: import scipy.linalg as la
In [986]: evals, lvecs = la.eig(M, right=False, left=True)
In [987]: tol = 1e-15
In [988]: mask = abs(evals - 1) < tol
In [989]: evals = evals[mask]
In [990]: evals
Out[990]: array([ 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j])
In [991]: lvecs = lvecs[:, mask]
In [992]: lvecs
Out[992]:
array([[ 0.9486833 , 0. , 0. ],
[ 0.31622777, 0. , 0. ],
[ 0. , -0.5547002 , 0. ],
[ 0. , -0.83205029, 0. ],
[ 0. , 0. , 0.70710678],
[ 0. , 0. , 0.70710678]])
In [993]: u = lvecs/lvecs.sum(axis=0, keepdims=True)
In [994]: u
Out[994]:
array([[ 0.75, -0. , 0. ],
[ 0.25, -0. , 0. ],
[ 0. , 0.4 , 0. ],
[ 0. , 0.6 , 0. ],
[ 0. , -0. , 0.5 ],
[ 0. , -0. , 0.5 ]])
In [995]: np.dot(u.T, M).T
Out[995]:
array([[ 0.75, 0. , 0. ],
[ 0.25, 0. , 0. ],
[ 0. , 0.4 , 0. ],
[ 0. , 0.6 , 0. ],
[ 0. , 0. , 0.5 ],
[ 0. , 0. , 0.5 ]])
答案 1 :(得分：0)
好吧，我在实施Warren的解决方案时必须做出一些改变，而且我还包括以下内容。它基本上是一样的，所以他得到了所有的功劳，但数字近似与numpy和scipy的现实需要更多的按摩，我认为这将有助于看到其他人试图在未来这样做。我还将变量名称更改为超级友好的。
如果我有任何错误或有进一步的建议改进（例如速度），请告诉我。
# in this case my Markov model is a weighted directed graph, so convert that nx.graph (G) into it's transition matrix
M = transitionMatrix( G )
#create a list of the left eigenvalues and a separate array of the left eigenvectors
theEigenvalues, leftEigenvectors = scipy.linalg.eig(M, right=False, left=True)
# for stationary distribution the eigenvalues and vectors are always real, and this speeds it up a bit
theEigenvalues = theEigenvalues.real
leftEigenvectors = leftEigenvectors.real
# set how close to zero is acceptable as being zero...1e-15 was too low to find one of the actual eigenvalues
tolerance = 1e-10
# create a filter to collect the eigenvalues that are near enough to zero
mask = abs(theEigenvalues - 1) < tolerance
# apply that filter
theEigenvalues = theEigenvalues[mask]
# filter out the eigenvectors with non-zero eigenvalues
leftEigenvectors = leftEigenvectors[:, mask]
# convert all the tiny and negative values to zero to isolate the actual stationary distributions
leftEigenvectors[leftEigenvectors < tolerance] = 0
# normalize each distribution by the sum of the eigenvector columns
attractorDistributions = leftEigenvectors / leftEigenvectors.sum(axis=0, keepdims=True)
# this checks that the vectors are actually the left eigenvectors, but I guess it's not needed to usage
#attractorDistributions = np.dot(attractorDistributions.T, M).T
# convert the column vectors into row vectors (lists) for each attractor (the standard output for this kind of analysis)
attractorDistributions = attractorDistributions.T
# a list of the states in any attractor with the approximate stationary distribution within THAT attractor (e.g. for graph coloring)
theSteadyStates = np.sum(attractorDistributions, axis=1)
以简单的复制粘贴格式将它们放在一起：
M = transitionMatrix( G )
theEigenvalues, leftEigenvectors = scipy.linalg.eig(M, right=False, left=True)
theEigenvalues = theEigenvalues.real
leftEigenvectors = leftEigenvectors.real
tolerance = 1e-10
mask = abs(theEigenvalues - 1) < tolerance
theEigenvalues = theEigenvalues[mask]
leftEigenvectors = leftEigenvectors[:, mask]
leftEigenvectors[leftEigenvectors < tolerance] = 0
attractorDistributions = leftEigenvectors / leftEigenvectors.sum(axis=0, keepdims=True)
attractorDistributions = attractorDistributions.T
theSteadyStates = np.sum(attractorDistributions, axis=0)
在生成的马尔可夫模型上使用该分析产生一个吸引子（三个），其稳态分布为0.19835218和0.80164782，与数学上准确的0.2和0.8相比较。所以这超过了0.1％的折扣，这对科学来说是一个很大的错误。这不是一个真正的问题，因为如果准确性很重要，那么现在已经识别出各个吸引子，就可以使用矩阵子集更精确地分析每个吸引子内的行为。