Answer 1

Answer 2

Answer 3

Answer 4

我能想到的最有效的算法如下。它应该具有O（n·（log n）²·log log n）的运行时复杂度，而不是具有二次运行时复杂度的朴素算法。

1. 假设不失一般性，数字A是2 ^{n + 1} 位长。它可能有前导零。
2. 如果这是最顶层的递归级别，则通过重复平方计算数字2 ^{2 i} 的最小值为n的十进制表示。
3. 将输入数字的位序列分为B和C两部分。具有较低有效位的部分C包括A的2 ⁿ 最低有效位，而B部分是其余更重要的部分。
4. 将B和C转换为十进制表示，使用 二次运行时算法，如果它们足够短，或者通过递归调用该算法。
5. 将B的十进制表示乘以2 ^{2 n} 的缓存十进制表示，并添加C的十进制表示以获得A的十进制表示。

在步骤2和5中，您需要一个十进制乘法算法。对于具有数万个数字的数字，您应该使用在基数10中运行的Schönhage-Strassen算法版本。这将导致上述运行时复杂性。对于较短的数字，根据其长度，应使用Toom-Cook算法，Karatsuba算法或长乘法。但是，我目前无法告诉如何在基数10中实现Schönhage-Strassen算法，因为我能找到的所有完整描述都是针对基数2的，我不知道有足够的数论可以自己推导出来。