为以下语言提供无上下文语法：

Question

a) L = {1^i - 1^j = 1^(i-j) | i-j>=0, i,j>=0}  
b) L = {a^i b^j c^k | k!=i+j, i,j,k>=0  

我似乎无法弄清楚如何实施这些程序。我理解这个概念，我似乎无法解决这个问题。任何帮助都会很棒！我已经盯着这东西大约6个小时了，而且一无所获。

Answer 1

解决这样的问题确实只有一些技巧，而且同样的问题一遍又一遍地出现。然而，真正让他们陷入困境的唯一方法是解决一些问题，所以这个答案实际上并不能解决OP中的家庭作业。我希望它能提供一些想法。

无上下文语言可以由其他上下文无关语言组成，一旦你知道组合是什么，就不需要太多考虑如何编写组合。在以下示例中，我不区分非终端语言和无上下文语言，因为非终端实际上​​定义了无上下文语言。例如，如果L ₁ 且L ₂ 是两个CFG，那么产生

L1 → …
L2 → …

那么联合L = L ₁ ∪L ₂ 就是：

L → L1
L → L2
L1 → …
L2 → …

而串联语言M = L ₁ L ₂ 是：

M → L1 L2
L1 → …
L2 → …

现在，这里有几个有用的组合。首先，括号平衡。无上下文的语言不能计算，除了它们可以计数然后倒计时。所以（ ⁿ [ ^m ] ^m < kbd>） ⁿ 是一种无上下文的语言，很容易看出它可以通过以

开头来组成

L1 = [m]m

然后定义

L2 = (nL1)n

使用以下简单作品：

L1 → ε
L1 → ( L1 )
L2 → L1
L2 → [ L1 ]

我本来可以用 a ， b ， c 和 d 代替括号和括号，但是我认为当你使用括号时，意图会更清晰。

这就是如何做平等计数。不平等呢？让我们从一个非常简单的语言开始：Kleene ⁺ 。 a ⁺ 是“一个或多个 a s”，语言很简单：

L → a
L → L a

现在考虑{ a ⁿ b ^m | n≠m}。我们可以将其重写为联盟：

{ a ⁿ b ^m | n＆gt; m}∪{ a ⁿ b ^m |米将N}

因为如果m≠n，则m> n和n> m中的一个必须为真。

现在看看{ a ⁿ b ^m | N'GT; M}。由于n严格大于m，我们可以将 a ⁿ b ^m 重写为 a ^MN 一 ^米 b'/ KBD> ^米。但我们并不关心n-m是什么，只是它至少有一个。所以我们可以使用Kleene ⁺ 来生成 a ^mn a ^m b ^m 这显然是：

L1 → a
L1 → L1 a
L2 → ε
L2 → a L2 b
L → L1 L2 

m> n的情况非常相似，为了得到m≠n，我们只需要找到这两种语言的联合。

我希望一切都清楚。

通常用奇怪的小代数身份来提供这样的谜题。要解决它们，您只需要将公式减少到上面显示的少数情况，使用 a ^{i + j} = a 等分解 ⁱ a ^j ，这不完全是火箭科学。

例如，另一个SO问题询问语言{ a ⁿ b ^m c ^{2n + m} | n，m> 0}。

解决它很简单。首先，我们想要括号匹配 b ^m ，所以我们需要将 c ^{2n + m} 重写为 C ^米 C ^2n个。这使我们将 a ⁿ 与 c ²ⁿ 进行括号匹配;为了使两个重复计数相同，我们需要将 c ²ⁿ 更改为 cc ⁿ 。

将原文重写为 a ⁿ b ^m c ^m cc ⁿ ，很明显该语言是：

L1 → ε
L1 → b L1 c
L2 → L1
L2 → a L1 cc

这与本答案顶部的括号平衡示例方式基本相同。