随机将多边形放在多边形内

Question

我将两个多边形定义为一系列2D浮点值。它们不保证是凹的或凸的。他们不会跨越自己。他们不能旋转。我想根据它的大小随意放置一个在另一个内部。主要问题是效率。我必须在几秒钟内完成大约200次左右。

我一直在研究这几天，并没有取得任何明显的进展。任何线索都会受到赞赏。

Answer 1

^{免责声明： 如果您尝试在更大的多边形内部打包多个多边形，那么我认为this problem is NP hard因此，高效精确的算法不太可能被开发以解决这个问题。多边形可以在平面中连续平移和旋转，这意味着放置可能是无限的，这使得问题的解空间也是无限的。如果您只是想找到较小的多边形是否适合较大的多边形，我缺乏有效的答案，但正如您所问 - “任何线索都会受到赞赏” - 这里有一个。}

让较大的多边形为B，较小的多边形（要插入的多边形）为S. B总共有b个点，S总共有s个点。

下图显示了边界框和最小边界矩形。我们使用它来获取快速失败过滤器（非常简单的想法......在下一段中定义）。下面显示的框（a）计算速度更快，而框（b）更精确的过滤。画出那个箱子，为您的箱子提供更好的投资回报。虽然在下图中它们都是椭圆形而不是多边形，但你可以得到这个想法。

http://portal.ku.edu.tr/~cbasdogan/Tutorials/imageU21.JPG

^{（图片来自：http://portal.ku.edu.tr/~cbasdogan/Tutorials/imageU21.JPG）}

Crux：如果B的任何一行与S的任何一行相交，或者如果S的所有行都在B之外，则B不能接受S。

快速失败过滤器： 获取B和S的边界矩形。如果无法将边界矩形S放置在B的边界矩形内，则你不能将多边形S放在多边形B内。这样，如果B不可能包围S，你就会更快地失败。下图说明了三种情况。

^{（图片来自：http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as4/figures/boundcull.gif）}

预处理： 确定形成B的行的等式。将它们存储在HashMap<<Point, Point>, Line>中，以便稍后执行该步骤。您可以通过斜率 m 唯一地定义直线并拦截 c ，并且您的直线的终点将成为关键（ <Point, Point> ）的HashMap。

算法：

对于通过上述过滤器的每个S：

1. 读取S的点并确定形成S
的行
2. 对于S的每一行，看看它是否与B ^† 的任何一行相交（它们已存储在HashMap中）
3. 如果没有交叉点，S在B内部，你所要做的就是画线而不用担心交叉。

在最坏的情况下，此算法的复杂性将为 O（bs）以绘制每个多边形。

^† _{这一步是蛮力的，以保持算法易于理解。否则，可以在此处进行能够更快地提供结果的关键优化。您可以过滤B的行。如果B的行的端点位于S的最左侧点的左侧，或者位于S的最右侧的点的右侧，则不需要考虑B的行与S的交点。 S或S以下。这可以节省大量的计算。}

Answer 2

如果这里的其他答案有用，这是它的附录。它显示了另一种方法，以查看较小的多边形是否在较大的多边形内。

要测试多边形包含，可以查看是否包含多边形的所有边。要测试所有边缘，请测试是否包含每条边的所有点。

1. 通过在现有顶点之间添加顶点来加密较小的多边形。下图显示了一行的密集化。
2. 现在对于加密多边形，测试其点是否都位于外部多边形内。这个测试可以通过从两侧发出无限远的点绘制线条，然后计算该线与更大的多边形相交的次数。
3. 如果所有点都在，则多边形在。
之内

<子> First Image source

^{Second Image source}