Question

我需要计算二次残差。 Prime p是3 mod 4，是一个非常大的数字，约为1e38（constexpr）。我只找到了拉格朗日x = +- a^((p + 1)/4) mod p的公式。

我需要计算大数字的幂（a ^ 1e38）。我试图使用boost::multiprecision::cpp_int，但似乎没有任何意义。对于这样的计算或替代算法，可能有人知道一个很好的实现。

Answer 1

你的例子要求模数运算模数为素数。如https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_little_theorem中所述，其中p是素数a ^ p mod p = a，并且如果a不是p的倍数，则a ^（p-1）= 1 mod p。所以如果a = = 0，则a ^ x = a ^（x mod p-1）。如果你想要一个模数不是素数的东西，那么考虑它并使用https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem。

如果你想要实数的算术，使用^ x = exp（x * ln（a））但是对于大x你可能需要将它保持为对数以避免溢出。

Answer 2

通常，测试某些东西是否为二次剩余是通过欧几里德算法式计算完成的，通过二次互易调用，只要顶部小于底部，就可以翻转雅可比符号（或Kronecker符号）。

此外，你几乎不应该计算指数然后减去模p：你的指数算法（例如，square-and-multiply）应该在每次之后减少模p步数左右计算。关键词：＆＃34;模幂运算＆＃34;。

Answer 3

我认为这可能会有所帮助 https://www.geeksforgeeks.org/modular-exponentiation-power-in-modular-arithmetic/

/* Iterative Function to calculate (x^y) in O(log y) */

int power(int x, unsigned int y) 
{ 

    int res = 1;     // Initialize result 

    while (y > 0) 
    { 
        // If y is odd, multiply x with result 
        if (y & 1) 
            res = res*x; 

        // y must be even now 
        y = y>>1; // y = y/2 
        x = x*x;  // Change x to x^2 
    } 
return res; 
}

快速功率算法实现

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