是||而且！运算符足以使每个可能的逻辑表达式？

Question

逻辑表达式( a && b ) （a和b都有布尔值）可以写成!(!a || !b)，例如。这不意味着&&是＆＃34;不必要的＆＃34;？这是否意味着只能使用||和! 所有逻辑表达式？

Answer 1

是的，正如其他答案所指出的那样，由||和!组成的运算符集合为functionally complete。这是一个建设性的证明，展示如何使用它们来表达布尔变量A和B之间的所有16个可能的逻辑连接词：

• True：A || !A
• A NAND B：!A || !B
• B implies A：!B || A
• A implies B：!A || B
• A OR B：A || B
• Not B：!B
• Not A：!A
• A XOR B：!(!A || B) || !(A || !B)
• A XNOR B：!(!A || !B) || !(A || B)
• A：A
• B：B
• A NOR B：!(A || B)
• A does not imply B：!(!A || B)
• B does not imply A：!(!B || A)
• A AND B：!(!A || !B)
• False：!(A || !A)

请注意，NAND和NOR本身在功能上都是完整的（可以使用上面相同的方法证明），因此如果要验证一组运算符在功能上是否完整，那么足以表明您可以表达NAND或NOR与它。

以下是显示上面列出的每个连接词的Venn diagrams的图表：

[source]

Answer 2

您所描述的是functional completeness。

这描述了一组足以“表达所有可能的真值表”的逻辑运算符。您的Java运算符集{||，!}就足够了;它对应于集合{∨，¬}，它列在“最小功能完整的运算符集”部分下。

所有真值表的集合表示所有可能的4个布尔值集合，这些值可以是2个布尔值之间的操作的结果。因为布尔值有2个可能的值，所以有2个 ⁴ 或16个可能的真值表。

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

这是真值表编号（0-15），产生它的||和!组合以及描述的表格。

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

还有很多其他功能完备的集合，包括一个元素集{NAND}和{NOR}，它们在Java中没有相应的单个运算符。

Answer 3

是。

All logic gates can be made from NOR gates.

由于NOR门可以由NOT和OR组成，因此结果如下。

Answer 4

如果可以，请花点时间阅读DeMorgan's Laws。

您可以在阅读中找到答案，并参考逻辑证明。

但基本上，答案是肯定的。

编辑：为了明确，我的观点是，可以从AND表达式逻辑推断OR表达式，反之亦然。对于逻辑等价和推理，还有更多的定律，但我认为这是最合适的。

编辑2 ：这是一个通过真值表的证明，显示了以下表达式的逻辑等价。

德摩根法律：!(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| A | B | !A  | !B  | !A || !B | !(!A || !B) | A && B | 
-------------------------------------------------------
| 0 | 0 |  1  |  1  |    1     |      0      |   0    | 
-------------------------------------------------------
| 0 | 1 |  1  |  0  |    1     |      0      |   0    |
-------------------------------------------------------
| 1 | 0 |  0  |  1  |    1     |      0      |   0    |
-------------------------------------------------------
| 1 | 1 |  0  |  0  |    0     |      1      |   1    |
_______________________________________________________

Answer 5

NAND和NOR是通用的，可用于在任何地方构建您想要的任何逻辑操作;其他运算符以编程语言提供，以便于编写和生成可读代码。

此外，所有需要在电路中硬连线的逻辑运算也是使用NAND或NOR专用IC开发的。

Answer 6

是的，根据布尔代数，任何布尔函数都可以表示为minterms的总和或maxterms的乘积，称为规范的正规形式。没有理由不将这种逻辑应用于计算机科学中使用的相同算子。

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form