Question

考虑n个节点的二叉树。为了举例，请考虑以下树：

     1
   /   \
  2     3
 / \   / \
4   5 6   7
           \
            8

有多少种不同的方法可以从根（顶部）节点开始完全遍历树，只移动到与已访问过的节点直接相连的未访问节点（即我可以从1到2到4然后到3）？

Answer 1

你可能会有更多运气询问数学堆栈交换。

您要求将二进制树的线性扩展数视为一个poset。虽然我看不到通用公式，但可以递归地解决这个问题，如下所示：

找到遍历左右子树的方法的数量（以一种方式简单地遍历空树）。调用这些T_L和T_R。设#L和#R分别是左树和右树的基数（大小）。然后遍历整个树的方式是

T_L * T_R *（#L + #R选择#L）

因为我们可以用T_L方式遍历左侧树，以T_R方式遍历右侧树（独立于我们如何遍历右侧树），并且我们可以交错左右树（#L + #R选择#L）方式。

在你的例子中，有两种遍历左树的方法，三种遍历右树的方法和（7选择3）是35，所以有2 * 3 * 35 = 210种遍历树的方法。 / p>

Answer 2

使用Prolog编译验证@deinst的答案：

traverse([], []) :- !.
traverse(F, [N|P]) :-
    % select a frontier node from F
    select(t(N,C), F, Rem),
    % append all new accessible children to the frontier
    append(C, Rem, NewF),
    % traverse the remaining set
    traverse(NewF, P).

tree(X) :-
    X = t(1,[t(2,[t(4,[]), t(5,[])]),t(3,[t(6,[]), t(7,[t(8,[])])])]).

do :-
    tree(X),
    findall(P, (traverse([X], P), write_ln(P)), Ps),
    length(Ps, L),
    write_ln(L).

这确实会返回210种可能性，正如您的示例树所建议的那样。

?- do.
[1,2,4,5,3,6,7,8]
[1,2,4,5,3,7,8,6]
[1,2,4,5,3,7,6,8]
[1,2,4,3,6,7,8,5]
[1,2,4,3,6,7,5,8]
[1,2,4,3,6,5,7,8]
[1,2,4,3,7,8,6,5]
[1,2,4,3,7,8,5,6]
[1,2,4,3,7,6,8,5]
...
[1,3,2,7,6,4,8,5]
[1,3,2,7,6,4,5,8]
[1,3,2,7,6,5,8,4]
[1,3,2,7,6,5,4,8]
210
true.

遍历二叉树的方法数量

2 个答案: