计算有效的方法来检查大数是否可以被3整除

Question

如果

M _p = 2 ^p -1是素数⇒

⇒2 ^p -2⋮6或2 ^p ⋮6⇒

⇒2 ^p-1 -1⋮3或2 ^p-1 ⋮3⇒

⇒2 ⁿ -1⋮3或2 ⁿ ⋮3，n = p-1

为了选择p的巨大值来测试M _p 是否为素数，我相信在进行计算成本昂贵的Lucas-Lehmer测试之前，这是一个很好的初步测试。

但是，如果两个数字2 ⁿ -1和2 ⁿ 可以被3整除，那么测试最快，最有效的方法是什么？

我们可以使用的其他信息是n总是以0,2,6或8结尾（因为p = n + 1是素数）。也许它在某种程度上有所帮助。

Answer 1

很容易证明：

2^n mod 3
== 1 if n is even
== 2 if n is odd

使用数学归纳法。

所以2 ⁿ 永远不会被3整除，并且只有当n是偶数时，2 ⁿ -1才能被3整除。

Answer 2

对数字求和，如果结果可以被3分割，那么它是。 EA

25681 = 2 + 5 + 6 + 8 + 3 = 24（= 2 + 4）= 6可分割。