Question

我正在学习数值方法课程，并且我被要求实施着名的蒙特卡罗算法来找到你能找到的here。

使用任意数量的试验编写代码没有任何困难：

REAL(8) FUNCTION distance(xvalue, yvalue) RESULT(dist)
IMPLICIT NONE
REAL(8), INTENT(in) :: xvalue, yvalue
dist = SQRT(xvalue**2 + yvalue**2)
END FUNCTION distance 

PROGRAM ass2
  IMPLICIT NONE

  INTEGER, DIMENSION(1) :: SEED
  REAL(8) :: p, x, y

  REAL(8), EXTERNAL :: distance

  REAL(8) :: pi_last, pi
  INTEGER :: npc, npt, i

  npc = 0
  npt = 0
  pi = 1.0

  SEED(1) = 12345
  CALL RANDOM_SEED

  DO i=1, 1000000000

     CALL RANDOM_NUMBER(p)
     x = p
     CALL RANDOM_NUMBER(p)
     y = p

     npt = npt + 1

     IF (distance(x, y) < 1.0)  THEN
          npc = npc + 1
     END IF

     pi_last = pi
     pi = 4.0*(npc*1.0)/(npt*1.0)

  END DO

  PRINT*, 'Pi:', pi

END PROGRAM ass2

我注意到它大约收敛为sqrt（N步）。现在我必须以一定的精度停止算法，所以我在IF语句中创建了一个带有EXIT的无限DO循环：

    REAL(8) FUNCTION distance(xvalue, yvalue) RESULT(dist)
IMPLICIT NONE
REAL(8), INTENT(in) :: xvalue, yvalue
dist = SQRT(xvalue**2 + yvalue**2)
END FUNCTION distance 

PROGRAM ass2
  IMPLICIT NONE

  INTEGER, DIMENSION(1) :: SEED
  REAL(8) :: p, x, y

  REAL(8), EXTERNAL :: distance

  REAL(8) :: pi_last, pi
  INTEGER :: npc, npt, i

  npc = 0
  npt = 0
  pi = 1.0

  SEED(1) = 12345
  CALL RANDOM_SEED

  DO

     CALL RANDOM_NUMBER(p)
     x = p
     CALL RANDOM_NUMBER(p)
     y = p

     npt = npt + 1

     IF (distance(x, y) < 1.0)  THEN
          npc = npc + 1
     END IF

     pi_last = pi
     pi = 4.0*(npc*1.0)/(npt*1.0)

  IF ( ABS(pi - pi_last) < 0.000001 .AND. pi - pi_last /= 0)    THEN
    EXIT
  END IF

  END DO

  PRINT*, 'Pi:', pi

END PROGRAM ass2

问题是这会返回不具有我要求的精度的pi值。我得到它背后的逻辑：如果我得到两个连续的值远离pi但彼此接近，则条件将被满足并且程序将退出DO语句。问题是我不知道如何修改它以获得由我决定的精度。所以问题是：

如何以能够决定输出中pi的精度的方式实现此算法？

编辑：好的，我实现了你的两个解决方案并且它们可以工作，但仅适用于10 ^（ - 1），10 ^（ - 3）和10 ^（ - 5）。我认为这是伪随机序列的问题，如果对于10 ^（ - 2）和10 ^（ - 4）它返回不正确的pi值。

Answer 1

仅指定所需的精度是不够的 - 您还需要允许一些不符合精度目标的机会。然后你可以用（例如）Hoeffding's inequality求解试验次数，以满足你想要的概率所需的精度（正如你所观察到的那样，n需要关于一个超过精度的平方根才能成功恒定概率）。

Answer 2

在理想设置中（完美的随机数生成器在数学意义上生成实数），变量npc是一个随机变量binomial distribution B（n，π/ 4），其中n是{{ 1}}来自你的程序。其期望值为n *π/ 4，因此您可以正确计算π的近似值npt。现在，无论您计算多少循环迭代，此近似值都可以取0到4之间的所有值，因为pi=4*npc/npt可以取0到npc之间的所有值。对于π范围内的范围，您只能给出概率（使用c作为npt的简写; P表示事件的概率）：

P（| pi-π|＆lt; d）= P（-d

= P（c

〜= F _N（n *（π+ d）/ 4） - F _N（n *（π-d）/ 4）= 2F（d *√（n /（π（4-π）））） - 1

其中F _N是正态分布N（nπ/ 4;nπ/ 4（1-π/ 4））的概率函数，其中approximates the above binomial distribution和F是概率函数标准正态分布。现在给出偏差d和概率p，你可以计算n s.t.最后一个词不低于p：

n = ceil（π（4-π）（F ^-1（（p + 1）/ 2）/ d）^ 2））

然后使用n次循环迭代，您可以使用给定的概率计算π的近似pi到期望的精度。 如果我们想要达到p = 99％的概率，那么上面的公式简化为

n~ = 17.89 / d ²，

所以对于精度d = 0.0001大致n = 1.789E9迭代是必要的！

注意：由于计算机无法满足上述理想设置，因此使用此算法可以达到（理论上）对精度的限制。计算机中只能表示有限的浮点数，因此您的点npc位于某种网格上。可以使用此算法计算的π的最佳近似值归结为在[0,1] x [0,1]中的所有网格点上执行循环。好的旧C函数rand（）具有31位的分辨率（至少在VS stdlib中）。因此，计算超过n = 31 ²点是没有意义的，当要求99％的正确性时，它给出最大精度√（17.89 / n）= 1.97E-9。

蒙特卡罗集成在FORTRAN中找到具有一定精度的pi

2 个答案: