Question

https://www.codechef.com/problems/MAXGCD

Chef有一个由N个整数组成的集合。如果子集具有两个或更多元素，Chef会调用此集合的子集。他将所有好的子集表示为S1，S2，S3，...，S2N-N-1。现在，他将每个良好子集Si的元素的GCD表示为Gi。 Chef希望找到最大的Gi。

输入

输入的第一行包含一个整数T，表示测试用例的数量。 T测试用例的描述如下。＆＃34; 每个测试用例的第一行包含一个整数N，表示集合中的元素数。第二行包含N个空格分隔的整数A1，A2，...，AN，表示集合的元素。

输出

对于每个测试用例，输出最大Gi

我的解决方案：

我生成给定集合的所有可能子集。
我使用Euclid算法
我试图找到所有这些中的最大值。

这是我制作所有可能子集的代码：

vector< vector<int> > getAllSubsets(vector<int> set)
{
    vector< vector<int> > subset;
    vector<int> empty;
    subset.push_back( empty );

    for (int i = 0; i < set.size(); i++)
    {
        vector< vector<int> > subsetTemp = subset;

        for (int j = 0; j < subsetTemp.size(); j++)
            subsetTemp[j].push_back( set[i] );

        for (int j = 0; j < subsetTemp.size(); j++)
            subset.push_back( subsetTemp[j] );
    }
    return subset;
}

但是，我采用这种方法时会得到TLE。我在哪里错了？

Answer 1

一个优化是您永远不需要考虑大于2个元素的子集。这是因为如果你添加另一个元素，GCD只能减少。

这会导致O(n^2)算法。问题陈述说n可以和100 000一样大，所以我们需要做得更好。

问题还在于给定的值最多为500 000，因此GCD不能超过此值。

让count[i] = how many times the value i appears in the array。

然后我们可以应用与Sieve of Eratosthenes类似的内容：对于固定值v，看看您是否可以找到两个v的倍数（计数总和[multiple_of_v]＆gt; 1 ）。如果可以，那么你可以拥有v的GCD。跟踪你能找到的最大值。

伪代码：

V = max(given array)
cnt[i] = how many times value i occurs in given array

for v = V down to 1:
  num_multiples_v = 0
  for j = v up to V:
    num_multiples_v += cnt[j]

  if num_multiples_v > 1: # TODO: break the inner loop when this is true
    print v as solution
    return

复杂性将是O(V log log V)，这应该非常快。

Answer 2

您不需要所有子集。

gcd的一些基本属性：

gcd(a,b) == gcd(b,a)
gcd(a,b) <= a  
gcd(a,b) <= b  
gcd(a,b,c) == gcd(a,gcd(b,c)) == gcd(gcd(a,b),c)

通过这个，很容易显示

gcd(a,b) >= gcd(a,b,c) >= gcd(a,b,c,d)...

表示任何自然数a，b，c，d。

您想要找到具有最大值的（其中一个）子集。 GCD。根据上面的规则，这个子集中的一个具有恰好两个元素（假设整个集合具有至少两个元素）。因此，第一个优化是抛弃子集生成并使其类似

max = 0
for all set elements "a"
{
    for all set elements "b"
    {
        if(gcd(a,b) > max)
            max = gcd(a,b)
    }
}

如果仍然不够，首先将集合表格从最大元素排序到最小元素，对于在循环中计算的每个gcd，删除小于计算值的每个集合元素。

我如何准确地解决这个GCD？

2 个答案: