Question

看了几个实现并发现，想知道为什么从k = m * m开始迭代是安全的？感谢。

http://www.algolist.net/Algorithms/Number_theoretic/Sieve_of_Eratosthenes

public void runEratosthenesSieve(int upperBound) {
      int upperBoundSquareRoot = (int) Math.sqrt(upperBound);
      boolean[] isComposite = new boolean[upperBound + 1];
      for (int m = 2; m <= upperBoundSquareRoot; m++) {
            if (!isComposite[m]) {
                  System.out.print(m + " ");
                  for (int k = m * m; k <= upperBound; k += m)
                        isComposite[k] = true;
            }
      }
      for (int m = upperBoundSquareRoot; m <= upperBound; m++)
            if (!isComposite[m])
                  System.out.print(m + " ");
}

Answer 1

每个小于m * m的复合数，m是因子，例如。 m * n，具有小于m的因子，例如。 n，我们已将其标记为复合。

这适用于素数或复合n，对于素数n，我们在周期中设置m = n。

对于复合n：我们知道任何整数＆gt; 1表示为素因子的乘积。其中一个主要因素是n的最小素因子，我们称之为s。由于s是n的主要因子，对于某些r，我们可以将n表示为s * r。这也意味着m * n是m * s * r。 s＆lt; m为n＆lt; m和s＆lt; ñ。我们知道r没有小于s的素因子，因为它是以这种方式定义的。所以s必须是m * s * r的最小素因子，所以我们在m = s的周期内设置它的iscomposite标志

Answer 2

让我们拿一个数字并将其分解：例如。 120

1 x 120
2 x 60
3 x 40
4 x 30
5 x 24
6 x 20
8 x 15
10 x 12

现在，一个观察结果：sqrt（120）= 11（发言）

现在，下次观察，each of the above factors have one thing in common, ie. one of the factors is less than 11 and other is greater than 11。

现在让我们分解36：

1 x 36
2 x 18
3 x 12
4 x 9
6 x 6

和sqrt（36）= 6.我们再次进行类似的观察，即每个因子都有一个小于6的数字和其他更大的数字，除了6 x 6，因为36是一个正方形。< / p>

因此，我们可以很容易地推断出这一点：

对于任何数字，如果它不是素数，如果我们去平方根，我们总能找到（至少）其中一个因子。

因此，为了降低复杂性，我们需要直到范围内每个数字的平方根，因此，sqrt(upperBound)足以用于外部循环。那是因为，如果到那时任何数字都没有标记为复合数，那么它永远不会是因为我们已经考虑了所有可能的除数。

编辑：

此外，筛选的实现不是most optimized。不是渐近复杂性，而是你可以做一些事情来减少一些操作。我将在c ++中添加我的sieve实现，它将计算所有素数直到MAX。

#define MAX 1000000
#define I int
#define FOR(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
I p[MAX]={1,1,0};            //global declaration
I prime[MAX/10]={2};         //global declaration
void sieve()
{
    I i,j,k=1;
    for(i=3;i*i<=MAX;i+=2)
    {
        if(p[i])
            continue;
        for(j=i*i;j<MAX;j+=2*i)
            p[j]=1;
    }
    for(i = 3; i < MAX; i+=2)
    {
        if(!p[i])
            prime[k++]=i;
    }
    return;
}

使用Eratosthenes筛选生成k素数

2 个答案: