Question

我试图在[0.005,0.008]范围内生成100个均匀随机数，总和为1。我正在寻找几个与我的担忧有关的问题，但我找不到答案。有人能给我一个建议吗？

Answer 1

首先，我将略微修改你的例子，假设100个变量以[0.008,0.012]为界，并且它们总和为1（这确保了你在集合中有可行点）。重新抽样）。

"hit and run" algorithm在n维空间的有界子集上均匀采样。对于您的情况，我们有n = 100维度;让我们定义相应的变量x_1, x_2, ..., x_100。然后我们有三种类型的约束来约束我们想要采样的空间区域。

变量的下限为0.008 - 这可以通过以下线性不等式来捕获：

x_1 >= 0.008
x_2 >= 0.008
...
x_100 >= 0.008

变量的上限为0.012 - 这可以通过以下线性不等式来捕获：

x_1 <= 0.012
x_2 <= 0.012
...
x_100 <= 0.012

变量总和为1 - 可以通过以下方式捕获：

x_1 + x_2 + ... + x_100 = 1

让我们说我们想得到10组在我们的空间内均匀分布的变量。然后我们可以通过以下方式使用R中的hitandrun包：

library(hitandrun)
n <- 100
lower <- 0.008
upper <- 0.012
s <- 1
constr <- list(constr = rbind(-diag(n), diag(n), rep(1, n), rep(-1, n)),
               dir = rep("<=", 2*n+2),
               rhs = c(rep(-lower, n), rep(upper, n), s, -s))
samples <- hitandrun(constr, n.samples=10)
dim(samples)
# [1]  10 100

请注意，这需要相当长的时间才能运行（在我的情况下略少于2小时），因为我们在高维空间（维度n = 100）中进行采样，并确保均匀采样命中和运行算法实际上为它绘制的每个样本执行O（n ^ 3）次迭代。您可以通过调整函数的thin参数来减少运行时间，但这可能会影响绘制的独立性。

Answer 2

我的想法是逐步生成随机数。在每一步中，要注意剩余的金额不会变大，也不会变小。在最后一步中，随机排列这些随机数：

N <- 100

lowerBound <- 0.008
upperBound <- 0.012
Sum        <- 1

X <- rep(NA,N)
remainingSum <- Sum

for (i in 1:(N-1))
{
  a <- max( lowerBound, remainingSum-(N-i)*upperBound )
  b <- min( upperBound, remainingSum-(N-i)*lowerBound )

  A <- ceiling(1e+8*a)
  B <- floor(1e+8*b)

  X[i] <- ifelse( A==B, A, sample(A:B,1)) / 1e+8

  remainingSum <- remainingSum - X[i]
}

X[N] <- remainingSum

X <- sample(X,N)

我很抱歉for - 循环，但它是一个基本的R解决方案，它似乎有效。

> sum(X)
[1] 1
> min(X)
[1] 0.00801727
> max(X)
[1] 0.01199241
> plot(X)

分布并不完全，但几乎是一致的。我重复了5000次计算并将第n个样本存储在X[,n]：

中

所有职位在一起：

在下限和上限附近，频率增加，但在界限之间的其余区间，它几乎是恒定的。

这是一个如何使分布更均匀的想法：在下边界和上边界附近组合一些数字并“将它们扔到中间”：

在下边界附近选择x1，在上边界附近选择x2。它们的平均值大约是间隔的中心。
绘制一个随机数y，使y和x1+x2-y包含在间隔中。
将x1和x2替换为y和x1+x2-y。
重复直到边界处的峰值消失。

Answer 3

如果没有关于这些数字将用于什么的更多信息，问题就不明确了。通过探讨一些较低维度的例子，我们可以看到什么＆＃34;制服＆＃34;不幸的是，这里意味着含糊不清。如果计划将其用于某种基于蒙特卡罗的模拟，那么您获得的结果很可能没用。

让我们查看n=4，约束[210,300]和总计为1000的问题。

我们（无效地）生成与标准匹配的所有离散值的详尽列表

values <- 210:300
df <- subset(expand.grid(a=values, b=values, c=values, d=values), a+b+c+d==1000)

由于对称性，a，b，c和d的分布是相同的。分布看起来像

> plot(prop.table(table(df$a)), type='l')

这个问题只会随着尺寸的增加而变得更糟。＆＃34;总结为1＆＃34;要求具有将采样限制为N-1维超平面的效果，并且单个组件约束用于将可行子集雕刻成多面体（基于N维超立方体与嵌入在N空间中的平面的交点））。

在3维中，子空间看起来像平面和立方体的交点;所以中间是六边形，两端是三角形。通过查看前两个主要组件的图表轻松验证

> values <- 100:150; df <- subset(expand.grid(a=values, b=values, c=values), a + b + c==370); df2 <- as.data.frame(predict(princomp(df)))
> plot(df2$Comp.1, df2$Comp.2)

总之，如果不了解使用意图的含义，这个问题要比合理解决起来要困难得多。

Answer 4

这是一个经过修改的Metropolis-Hastings解决方案。请注意，我的约束并没有达到收敛;但是，它非常接近：

simple_MH <- function(n= 100, low= 0.005, up= 0.02, max_iter= 1000000) {
  x <- runif(n, low, up)
  sum_x <- sum(x)
  iter <- 0

  if (sum_x == 1) return(x)
  else {
    while (sum_x != 1 & iter < max_iter) {
      iter <- iter + 1
      if (sum_x > 1) {
        xt <- sample(which(x > mean(x)), 1)  
      } else {
        xt <- sample(which(x < mean(x)), 1)
      }

      propose <- runif(1, low, up)
      d_prop <- dnorm(propose, 1 / n, sqrt(1/12 *(up - low)^2))
      d_xt   <- dnorm(x[xt], 1 / n, sqrt(1/12 *(up - low)^2))
      alpha <- d_prop / d_xt

      if (alpha >= 1) {
        x[xt] <- propose
        sum_x <- sum(x)
      } else {
        acc <- sample(c(TRUE, FALSE), 1, prob= c(alpha, 1-alpha))
        if (acc) {
          x[xt] <- propose
          sum_x <- sum(x)
        }
      }
    }
  }
  return(list(x=x, iter= iter))
}

# try it out:
test <- simple_MH() # using defaults (note not [0.005, 0.008])
test2 <- simple_MH(max_iter= 5e6)
R> sum(test[[1]]) # = 1.003529
R> test[[2]] # hit max of 1M iterations
R> sum(test2[[1]]) # = 0.9988
R> test2[[2]] # hit max of 5M iterations

生成N个均匀随机数，总和为1

4 个答案: