scipy中逆矩阵乘积的跟踪

Question

我希望有效地计算逆矩阵乘积的轨迹，即Tr（A ^ -1 B）。我在许多其他地方使用A的逆，所以我可以访问Cholesky分解或显式逆。

天真的事情将是以下两个之一：

np.trace(np.dot(invA, B))
np.trace(linalg.cho_solve(choA, B))

然而，这似乎是浪费，因为它在O（N ^ 3）处计算完整矩阵A ^ -1 B，然后才使用其对角线来计算轨迹。

给定显式逆，O（N ^ 2）解决方案将是：

np.sum(invA.T * B)

虽然这需要一个明确的反转，这是不可取的。

我认为理想的方法是在Cholesky分解后只计算A ^ -1 B的对角元素，然后简单求和。这可能使用scipy吗？或者在Cholesky分解的情况下，还有另一种以数值稳定的方式计算Tr（invA * B）的方法吗？

Answer 1

@ DSM建议的einsum直观地看起来像是fastest way，因为它只会计算所需的条款。在python中手动执行此操作会比较慢，除非numpy / scipy中有专门的例程，数学技巧或者没有用较低级别的语言编写内容，否则我看不到更好办法。为了检查时间，我们设置了一个虚拟数组，

import numpy as np
from scipy import linalg

invA = np.random.rand(100,100)
B = np.random.rand(100,100)
choA = linalg.cholesky(a)

尝试天真的建议，

%timeit np.sum(invA.T * B)
10000 loops, best of 3: 38.5 us per loop

使用逆

的方法

%timeit np.sum(invA.T * B)
10000 loops, best of 3: 39.1 us per loop

似乎差不多。最后使用einsum，

%timeit np.einsum("ij,ji", invA, B)
100000 loops, best of 3: 17.4 us per loop

似乎快了两倍。