Question

我问了一个关于Bi线性变换的问题并得到了这个答案：

从您发布的那个页面，有一个指向源的链接码。我将在

中解释双线性变换

http://www.antigrain.com/__code/include/agg_trans_bilinear.h.html

这里的想法是找到形式的转换：

output_x = a * input_x + b * input_x * input_y + c * input_y + d
output_y = e * input_x + f * input_x * input_y + g * input_y + h

术语“双线性”来自于线性的每个方程式任何一个输入坐标本身。我们想要解决正确的a，b，c和d值。说你有参考矩形r1，r2，r3，r4，你要映射到（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）（或某些图像坐标系）。

对于a，b，c，d：

0 = a * r1_x + b * r1_x * r1_y + c * r1_y + d
1 = a * r2_x + b * r2_x * r2_y + c * r2_y + d
0 = a * r3_x + b * r3_x * r3_y + c * r3_y + d
1 = a * r4_x + b * r4_x * r4_y + c * r4_y + d

对于e，f，g，h：

0 = e * r1_x + f * r1_x * r1_y + g * r1_y + h
0 = e * r2_x + f * r2_x * r2_y + g * r2_y + h
1 = e * r3_x + f * r3_x * r3_y + g * r3_y + h
1 = e * r4_x + f * r4_x * r4_y + g * r4_y + h

你可以解决这个问题但是你最喜欢。（如果你熟悉的话矩阵表示法，这些是矩阵的两个矩阵方程是一样的，然后你只需要找到LU分解一次，并解决两个未知的向量）。那么系数就是应用于将矩形的内部映射到中的位置矩形。

问题是，我有input_x和input_y以及r1，r2，r3，r4，但我不知道如何实现output_x和output_y。我如何解决这样的等式？我只熟悉用2个变量求解方程式。

由于

Answer 1

这是你发现的一个可怕的解释。希望我能帮助你了解发动机罩下发生的事情。

您要做的是将矩形区域（一个四边形）映射到另一个（任意形状）四边形。让我们从一个更简单的情况开始：线性插值（找到位于线的值）

如果你有一条从a到b的线，那么你可以使用这个等式在该线上找到任何一个'c'点：

c = ((1 - p) * a) + (p * b);

这两个位置的值“混合”（插值）沿它们之间的直线（线性）。如果使用p = 0，那么等式变为

c = (1 * a) + (0 * b)   = a

所以在p = 0时，等式给出了'a'点。

当p = 1时，等式变为：

c = (0 * a) + (1 * b)   = b

所以在p = 1时，等式给出了'b'点。

在p的中间值，你得到a和b之间的线上的点。（所以在p = 0.5时，你得到a和b之间恰好一半的点）

因此，要将像素从屏幕上的一行复制到屏幕上的另一行，我们可以使用线性插值来查找要读取和写入的行上的位置。

for (float p = 0.0; p <= 1.0; p += 0.1)    // copy 10 pixels from line 1 to line 2
    DrawPixelOnLine2(p, GetPixelFromLine1(p));

这两种方法只会使用线性插值来计算读取和绘制像素的正确位置，如下所示：

int ax = 0, ay = 100, bx = 50, by = 170;   // line a-b goes from (0,100) to (50,170)

int px = ((1-p) * ax) + (p * bx);          // calc the x and y values separately
int py = ((1-p) * ay) + (p * by);

（请注意，我必须使用两次计算才能进行2D位置。我可以通过简单地为az / bz / pz坐标添加相同的计算来插入3D）

因此，现在您可以将点从一条任意直线复制到另一条直线。

双线插值完全相同，除了我们想在矩形内而不是在一条线内找到一个点，所以我们需要两个维度来描述该点在矩形中的位置（ px沿着矩形的底部，并且py在矩形的一侧）。现在，您可以使用（px，py）坐标对定位矩形中的任何点。

为了进行上述映射，我们简单地在两个维度上进行线性插值计算：首先我们沿着底部和顶部进行插值，以找到垂直穿过矩形中间的直线的两个端点。然后我们沿着这条垂直线进行插值，找到矩形中间的最终点。

“矩形”不需要是矩形。这两个尺寸可用于任何4面形状（即您可以将矩形的角移动到任何您喜欢的位置，方程仍然可以找到角之间的位置以填充形状所包围的区域）

在您找到的示例中，作者使用四个点来描述源形状（a，b，c，d），另外四个点来描述目标形状（e，f，g，h）

此外，他们通过求解方程式来填充变换矩阵，使得计算更有效，该变换矩阵可以与点相乘以进行映射过程。但是，效果与我上面描述的相同。希望我的解释能让你更容易“看到”方程式正在做什么。

Answer 2

如果要将矩形映射到另一个矩形，则需要进行简单的线性变换。要将点r映射到点q，您需要：

qx = arx + bry + c
qy = drx + ery + f

有6个变量，你需要6个方程（3个点）。要将矩形r映射到矩形q：

q1x = a*r1x + b*r1y + c
q1y = d*r1x + e*r1y + f
q2x = a*r2x + b*r2y + c
q2y = d*r2x + e*r2y + f
q3x = a*r3x + b*r3y + c
q3y = d*r3x + e*r3y + f

从上面你必须解决2个系统的3个线性方程，每个系统有3个变量。只要点不同且不共线，它们就会有1个解决方案（如果是矩形角，则可以实现）。

帮助理解这些方程？

2 个答案: