Question

我知道诸如cubature之类的R包能够对许多积分执行数值积分。但是，在我的情况下，集成的限制不是整数，而是其他变量的函数。

例如，假设我有

f（x，y）= 4 *（x-y）*（1-y），其中0

我想计算一个双积分（dy dx）而不是y < x＆lt;对于x和0 <0的范围，可以得到2。 y＆lt; 1表示y的范围。我将如何在R中执行此操作（即，这可能使用pracma包吗？）

如果尚未实现，我会感到惊讶，但在这种情况下，指向算法的链接会有所帮助。

Answer 1

如果你只是添加（或者更确切地说是乘以）一个术语，在任何（x，y） - 元组中将函数的值设置为零，其中（y> = x）

，这实际上非常容易

积分函数不接受无限界，但由于x被限制为（0-1）且y大于x，因此{{1}}为下限也必须为0，这就是我以这种方式设置限制的原因。

Answer 2

您可以将域划分为三个三角形（创建图片）。通过在列中给出其顶点来定义这三个三角形：

T1 <- cbind(c(0,0), c(1,0), c(1,1))
T2 <- cbind(c(1,0), c(2,0), c(1,1))
T3 <- cbind(c(1,1), c(2,1), c(2,0))

然后，您可以使用SimplicialCubature软件包。首先定义数组中三个三角形的并集：

Domain <- abind::abind(T1, T2, T3, along=3)

定义被积物：

f <- function(xy) 4*(xy[1]-xy[2])*(1-xy[2])

然后：

library(SimplicialCubature)
> adaptIntegrateSimplex(f, Domain)
$integral
[1] 2.833333

$estAbsError
[1] 2.833333e-12

$functionEvaluations
[1] 96

积分的精确值为17/6 = 2.833333....。因此，我们得到的逼近度比另一个答案中pracma给出的逼近度好（不足为奇：带有项(y<x)的被积数并不平滑）。

在此示例中，我们甚至可以使用SimplicialCubature得到更好的结果。被整数是一个多项式：f(x,y) = 4*x - 4*xy - 4*y + 4*y²。 SimplicialCubature软件包具有多项式的精确方法。

> p <- definePoly(c(4,-4,-4,4), rbind(c(1,0),c(1,1),c(0,1),c(0,2)))
> printPoly(p)
Polynomial has 4 terms and 2 variables
4 * x[1]^1       (degree= 1 )
  -4 * x[1]^1 * x[2]^1       (degree= 2 )
  -4 * x[2]^1       (degree= 1 )
  + 4 * x[2]^2       (degree= 2 )
> integrateSimplexPolynomial(p, Domain)
$integral
[1] 2.833333

$functionEvaluations
[1] 9

R中的n维积分，具有作为函数的限制

2 个答案: