Question

from math import sqrt


a=1e-8
b=10
c=1e-8

x1 = ((-b)-sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)
x2 = ((-b)+sqrt((b**2)-(4*a*c)))/(2*a)

print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)

print (4*a*c)
print (sqrt(b**2-4*a*c))
print b**2
print 2*a

当我运行程序时，返回：

x1 = -1e+09
x2 = 0.0

4e-16
10.0
100.0
2e-08

我需要的是x2等于-1e-9。

问题似乎与

有关

sqrt((b**2)-(4*a*c))

因为它给出了10个结果，显然因为4 *（10 ^ -8）*（10 ^ -8）几乎等于0，并且被python认为是0。

这导致：

sqrt((b**2)-(4*a*c)) = sqrt(b**2) = sqrt(10**2) = 10

非常感谢任何帮助

Answer 1

使用十进制模块：

from decimal import Decimal
a = Decimal('1E-8')
b = 10
c = Decimal('1E-8')
x1 = ((-b)-((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
x2 = ((-b)+((b**2)-(4*a*c)).sqrt())/(2*a)
print 'x1 = {}'.format(x1)
print 'x2 = {}'.format(x2)

结果

x1 = -999999999.999999999000000000
x2 = -1.0000000000E-9

Answer 2

您不需要额外的精度来解决此问题：Python float已经具有足够的精度来完成这项工作。你只需要一个（稍微）聪明的算法。

你的问题源于两个几乎相等的计算值的减法：当{{1}}时，b正数和大数（与a和c相比），你最终会得到一个有很大相对误差的结果。但请注意，此问题仅适用于两个根中的一个：在-b + sqrt(b*b-4*a*c)中，没有这样的问题。同样，对于-b - sqrt(b*b-4*a*c)大和负，第一个根是好的，但第二个根可能会失去准确性。

解决方案是使用您现有的公式计算任何根没有取消问题，然后为另一个根使用不同的公式（实质上，使用您知道两者的产品的事实根是b）。该公式为c / a。

这是一些示例代码。它使用math.copysign来选择不会导致取消错误的符号：

2c / (-b +/- sqrt(b*b-4*a*c))

这涉及数值不稳定的最严重可能原因。如果>>> from math import sqrt, copysign >>> def quadratic_roots(a, b, c): ... discriminant = b*b - 4*a*c ... q = -b - copysign(sqrt(discriminant), b) ... root1 = q / (2*a) ... root2 = (2*c) / q ... return root1, root2 ... >>> quadratic_roots(a=1e-8, b=10, c=1e-8) >>> (-1000000000.0, -1e-09)恰好非常接近b*b，那么在计算判别式时，还有第二个可能的原因。在这种情况下，可能会丢失一半正确的有效数字（因此每个根目录只能获得7-8个准确数字）。在这种情况下获得全精度结果将需要使用扩展精度计算判别式。

关于loss of significance的维基百科文章包含对此问题的有用讨论。

Answer 3

您也可以使用bigfloat库来获得相同的精度。

M(n)

如何在Python中获得更精确的十进制值

3 个答案: