Question

我想在MATLAB中以数字方式计算复值函数（全纯函数）的导数。

我在复平面上的网格中计算了函数，并且我尝试使用Cauchy-Riemann关系计算导数。

给定： u = real（f），v = imag（f），x = real（point），y = imag（point）

衍生物应由：f＆＃39; = du / dx + i dv / dx = dv / dy - i du / dy

其中＆＃39; d＆＃39;是衍生运算符。

我尝试过以下代码：

stepx = 0.01;
stepy = 0.01;
Nx = 2/stepx +1;
Ny = 2/stepy +1;
[re,im] = meshgrid([-1:stepx:1], [-1:stepy:1]);
cplx = re + 1i*im;
z = cplx.^3;

衍生物应由：

给出

f1 = diff(real(z),1,2)/stepx +1i* diff(imag(z),1,2)/stepx;

或

f2 = diff(imag(z),1,1)/stepy - 1i* diff(real(z),1,1)/stepy;

但是假设相等的两个衍生物不匹配。

我做错了什么？

让我们计算小于stepx的元素数量（假设stepx = stepy）：

lm = min(size(f1));
A = f1(1:lm,1:lm);
B = f2(1:lm,1:lm);

sum(sum(abs(A - B) <= stepx))

并使用@A提出的修复程序。唐达

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';

sum(sum(abs(f1i - f2i) <= stepx))

在第二种情况下，它们的差异应该小于stepx，而在第一种情况下它不是真的。

Answer 1

问题在于，使用两个不同的表达式，在Matlab中进行离散化，您可以计算复平面中不同点的近似导数。假设您处于虚值y并且计算沿实轴x的差异，则第i个差值估计(x(i) + x(i + 1))/2处的导数，即在两个后续x值之间的所有中点处。另一种方法是估计给定x的导数，但是在两个后续y值之间的所有中点。

这也导致所得矩阵的不同大小。使用第一个公式得到一个大小为201x200的矩阵，另一个大小为200x201。这是因为在第一个版本中，沿着x有200个中点，但是201个y值，反之亦然。

所以答案是，你没有做错任何事，你只是错误地解释了结果。

你可以通过沿着另一个维度明确插值来解决问题（不用于导数的那个）：

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';

根据您的第一个公式计算f1，根据第二个公式计算f2。现在两个导数都是在两个维度的中点处进行评估，这就是为什么两个矩阵都是200x200的原因。

如果你现在比较它们，你会发现它们在数值误差方面是相同的（毕竟，diff只计算近似导数而interp1会产生插值误差）。对于您的步长，此错误最大为1e-4，并且可以通过使用较小的步长来进一步减少。

在MATLAB中数值计算复值函数的导数

1 个答案: