Question

我试图解决以下问题但我被困住了。我认为这是一个动态编程问题。你能提出一些想法吗？

问题：

给定正数n（n <= 18）和正数m（m <= 100）。呼叫S（x）是x的数字之和。例如S（123）= 6 计算具有n位且S（x）= S（x * m）

的整数x的数量

示例：

n = 1，m = 2结果= 2

n = 18，m = 1结果= 1000000000000000000

提前致谢。

Answer 1

首先，我们需要提出一个递归公式：

从最低有效数字（LSD）到最高有效数字（MSD），我们有一个有效的解决方案，如果在我们计算MSD之后，我们有S(x) = S(x*m)

要验证数字是否是有效的解决方案，我们需要了解三件事：

数字S（x）
数字S（x * m）
当前数字是什么。

因此，要回答第一个和最后一个，这很简单，我们只需要维护两个参数sum和digit。要计算第二个参数，我们需要维护另外两个参数sumOfProduct和lastRemaining。

sumOfProduct是当前的S（x * m）
lastRemaining是(m * current digit value + lastRemaining) / 10

例如，我们有x = 123和m = 23

第一位= 3

sum = 3
digit  = 0
sumOfProduct += (lastRemaining + 3*m) % 10 = 9
lastRemaining = (m*3 + 0)/10 = 6

第二位= 2

sum = 5
digit = 1
sumOfProduct += (lastRemaining + 2*m) % 10 = 11
lastRemaining = (m*2 + lastRemaining)/10 = 5

最后一位= 1

sum = 6
digit = 2
sumOfProduct += (lastRemaining + m) % 10 = 19
lastRemaining = (m + lastRemaining)/10 = 2

这是最后一位数字sumOfProduct += S(lastRemaining) = 21。

因此，x = 123和m = 23不是有效数字。检查x*m = 2829 -> S(x*m) = S(2829) = 21。

因此，我们可以使用状态为(digit, sum, sumOfProdut, lastRemaining)的递归公式。

因此，我们的动态编程状态为dp[18][18*9 + 1][18*9 + 1][200]（因为m <= 100，因此lastRemaining不大于200）。

现在dp状态超过300 MB，但如果我们使用迭代方法，它会变小，使用大约30 MB

Answer 2

此问题可以直接计算。

从这些文档：1，2和3 （感谢@LouisRicci找到它们），我们可以声明：< / p>

倍数的总和的重复周期开始在最后一位数字处重复，但是从基数开始重复（基数为10的基数为10）
S(x)可以定义为：让a等于x mod 9，如果a为零，则取9作为结果，否则取{ {1}}。 您可以在下面的ES6代码段中播放：

＆＃13;

IN.oninput= (_=> OUT.value= (IN.value % 9) || 9);
IN.oninput();

＆＃13;

乘法规则：Input x:<br> <input id=IN value=123><br> S(x):<br> <input id=OUT disabled>。
S(x * y) = S(S(x) * S(y))和S(x)对于S(x*m)始终为真，这样就没有零结果。

考虑到上述陈述，我们应该为x=0计算乘数的总和的重复周期：

S(m)

答案是：

int m = 88;
int Sm = S(m); // 7

int true_n_times_in_nine = 0;
for (int i=1; i<=9; i++) {
    true_n_times_in_nine += i == S(i * Sm);
}

另外一个因为案例零：

result = ((pow(10, n) / 9) * true_n_times_in_nine);

这是ES6解决方案：

＆＃13;

result++;

＆＃13;

S= x=> (x % 9) || 9;
TrueIn9= (m, Sm=S(m))=> [1,2,3,4,5,6,7,8,9].filter(i=> i==S(i*Sm)).length;
F= (n,m)=> ~~(eval('1e'+n)/9) * TrueIn9(m) + 1;


N.oninput= 
M.oninput= 
f=(_=> OUT.value= F(N.value | 0, M.value | 0));
f();

＆＃13;

计算数字和等于x * m的数字和的数字x的数量

2 个答案: