Question

问题：

最小化x1+x2+...+xn

已知k1*x1+k2*x2+...kn*xn = T

k1,k2,...,kn和T是已知的整数，＆gt; 0

k1 > k2 > k3 > ... > kn

所有x也是整数，＆gt; = 0

查找所有x

我试图使用Rglpk和Glpk。但我找不到只有一行矩阵的例子。这是整数编程吗？它可以解决吗？非常感谢。

我写的一些Ruby代码：

ks = [33, 18, 15, 5, 3]
t = 999

problem = Rglpk::Problem.new
problem.name = "test"
problem.obj.dir = Rglpk::GLP_MIN

rows = problem.add_rows(1)
rows[0].name = "sum of x equals t"
rows[0].set_bounds(Rglpk::GLP_UP, t, t)

cols = problem.add_cols(ks.size)
ks.each_with_index do |k,index|
  cols[index].name = "k: #{k}"
  cols[index].set_bounds(Rglpk::GLP_LO, 0.0, 0.0)
end

problem.obj.coefs = Array.new(ks.size, 1)

problem.set_matrix(ks)

problem.simplex
minimum_x_sum = problem.obj.get
xs = []
cols.each do |col|
  xs << col.get_prim
end
xs

Answer 1

是的，它是一个整数程序，一个相当着名的程序，即所谓的＆＃34; knapsack problem＆＃34;。因此，您可以使用您提到的任何一个包来解决它（假设变量的数量不是太大），但更有效的方法是使用动态编程（参见上面的链接）。这里使用DP非常简单。 This是我通过Googling找到的一个Ruby实现。

我应该提一些相关的花絮。首先，您的约束是一个等式约束：

k ₁ x ₁ + k ₂ x ₂ + ... + k _n x _n = T

但通常认为这是（DP）背包算法的不等式：

k ₁ x ₁ + k ₂ x ₂ + ... + k _n x _n＆lt; = T

要处理等式约束，您可以稍微修改算法，或添加术语：

M *（T - x ₁ + x ₂ + ... + x _n）

到最小化的目标，其中M是一个非常大的数字（可能是10 ⁶），从而在最优解决方案中强制平等。（扩展时，每个x _i的系数变为1-M。常数项MT可以忽略不计。）

另外两个细节：

DP算法允许目标中的变量具有除1以外的系数（当所有系数等于1时，效率没有增益）;和
如果DP算法最大化（而不是最小化）目标，则可以简单地否定目标中变量的系数，以获得最小化问题的最优解。

如何在Ruby中解决这个非0-1整数的Knapsack_Problem

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