检查多边形是否是多面体投影的算法

Question

我正在尝试开发一种执行以下操作的算法：

给定2D多边形和3D多面体，确定2D多边形是否是3D多面体的投影（精确的透视投影），而不知道我们可能使用哪个变换矩阵进行投影。

输入

• {2D Polygon}
• {3D Polyhedron}

输出

• {bool}是否是透视投影

我不是要求代码，但我只想知道这在多项式时间是否可行。

非常感谢任何帮助。

Answer 1

3D到2D透视投影具有7个自由度（6个用于场景相对于相机的相对运动，1个用于焦距）。

在2D投影中选择四个顶点并考虑与多面体顶点的所有可能对应关系（存在这种关联的多项式数）。然后在7个未知参数中形成7个方程的系统（不幸的是非线性的;可能第8个方程可用于在多个解中进行选择）。

了解参数后，您可以通过重新投影多面体并与多边形进行比较来检查解决方案（进一步搜索与顶点和边缘的对应关系）。

所有这些都需要多项式时间（如果我是正确的话，则为四次），如果一个人承认求解器需要有限的时间（因此有限精度）。

如果焦距已知，则可以采用更好的方法。实际上，只有6个未知数，你可以从三个点的投影中找到投影参数。已知这个问题有一个分析解决方案（实际上最多4个），正如“透视三点问题的新算法”，高晓山＆陈航飞，Vol .16 No.3 J. Comput.Sci。＆amp; Technol。“

这应该导致O（N³）确切的程序。

更一般地说，你在N对点之间形成假定的对应关系，解决相应的Perspective-N-point问题，并通过重新投影多面体并与已知投影进行比较来检验假设，以验证假设。

Answer 2

只是一个算法的想法：

将由三个点组成的投影的三角形彼此相邻，而不是在同一条线上。迭代原始的所有相应三角形。对于解决这对三角形的所有可能投影，检查其余三角形是否匹配。

我必须承认我现在不确定是否可以有三角形的无限解（这很难迭代）？如果是这样，从四点开始。

Answer 3

我认为这是可能的，但你必须进行大量的逆向工程。表示3D对象的2D草图称为Orthographic Projection。该链接显示了您需要应用的转换矩阵，以将3D点转换为其2D投影。现在，你怎么走？反向矩阵混合了一些逆变换（平移，缩放，旋转......）？我认为这是一个很好的领导。