Question

假设我有以下未加权的无向图，其中边可以通过两种不同类型的边连接：支撑边（绿色）和相对边（红色）。

以下是一个例子：

Example support-opposition graph

我想计算任何给定两个节点之间的对立或支持的“距离”。例如，如果节点代表战争国家或政治候选人，即使A和D之间没有边缘，我们可能会得出结论，他们可能会相互反对，因为A反对C而C支持D。

这是一个简单的例子，但是给定一个包含许多高度节点的大图，如果不能通过连续的反对链直接连接，我怎样才能确定任何两个节点相互对立或相互支持的可能性有多大？ /支持边缘？

我想你会将每个节点表示为一个向量，其中的组件是否存在类型边缘存在于任何其他节点之间。如果这是一个很好的方法，你会使用什么距离测量（欧几里德，汉明等？）

Answer 1

这个问题看起来好像需要数值优化。这是一种方法：

为每个节点引入一个随机变量。该变量将在[-1,1]范围内，其中-1表示明显反对，+1表示明确支持。中间的值给出了两者的概率。将您感兴趣的节点的变量修复为1（因此，它不会成为优化的一部分）。

现在，在边缘上定义一个潜在的函数。我建议绝对差异：

v1, v2 are the incident nodes' values
for supporting edges:
  P(v1, v2) = abs(v1 - v2)
for opposing edges:
  P(v1, v2) = abs(v1 + v2)

根据您的优化方法，您可能需要一个可微分的潜在功能。例如，您可以通过以下方式使这些功能可以区分：

for supporting edges:
  P(v1, v2) = sqrt((v1 - v2)^2 + epsilon)
for opposing edges:
  P(v1, v2) = sqrt((v1 + v2)^2 + epsilon)

其中epsilon是一个相当小的数字。

所有潜力的总和是能量：

E = Sum P_i

然后，您需要找到与arg min E相关的v。有几个优化器。试试，哪一个表现最好（例如梯度下降，模拟退火，L-BFGS ......）。如果你坚持凸起的潜力（如绝对差异），简单的梯度下降可能就足够了。

这为每个其他节点提供了支持值。如果边缘不相互矛盾，则所有值都将为+1或-1。如果你有矛盾的边缘，其他值也是可能的。

您的示例将产生这些支持值（相对于A）：

B: -0.333  (probably opposing)
C:  0.333  (probably supporting)
D:  0.333  (probably supporting)

Answer 2