停下来思考：嘻哈到广场？来自The Algorithm Design Manual，2nd Edition

Question

目前我正在阅读Steven Skiena的算法设计手册第2版，我偶然发现了一个问题。

在第2章中，他解释了算法分析，其中包括Big Oh表示法，我不理解他的解决方案停止和思考：嘻哈到广场？

问题：是（x + y） ² = O（x ² + y ² ）。

他的解是（x + y） ² ＆lt; = 3（x ² + y ² ），这意味着c＆gt; ; = 3（从大哦的定义不变）。

这是我的解决方案：

1. （x + y） ² ＆lt; = c（x ² + y ² ）
2. x ² + 2xy + y ² ＆lt; = c（x ² + y ² ）< / LI>
3. x = max（x，y）
4. x ² + 2x ² + x ² ＆lt; = c（x ² + x ² ）
5. 4x ² ＆lt; = 2cx ²
6. 2x ² ＆lt; = cx ²
7. c＆gt; = 2

我在这里缺少什么？

Answer 1

我不知道他在哪里获得了3，但是在这里可以证明（x + y） ² ＆lt; = 2（x ² + y ² ）：

2（x ² + y ² ） - （x + y） ² = 2x ² + 2y ² - x ² -2xy - y ²  = x ² - 2xy + y ² =（x - y） ² ＆gt; = 0

至于为什么你的解决方案是错误的，你从你想要证明的东西开始，这很棘手。我想在不平等旁边加一个问号作为提醒，它还不知道：

1. （x + y） ² ＆lt; =？ c（x ² + y ² ）

然后每个后续步骤应该是暗示上一步骤的步骤，这样如果您达到一个绝对真实的陈述，您可以撤消步骤并获得证据。下一步很好：

1. x ² + 2xy + y ² ＆lt; =？ c（x ² + y ² ）

现在你的第3步既不是你要证明的东西也不是你知道的真实。你能说的是一切都是x和y对称的，所以我们可以假设x = max（x，y）（因为如果y是更大的那个，你可以做任何你要做的事情但是用x和y做换）。

但道格拉斯·扎尔指出，第4步并不等同于第2步，因为你增加了不平等的双方。

Answer 2

首先，确切的常数通常并不重要。使用这种类型的渐近分析的一点是，它比Knuth，Flajolet和Sedgewick以及其他人使用的精确分析更简单。所以，即使你发现3不是最好的常数，那么呢？

其次，你犯了一个更容易捕获的错误，如果不是简单地写一堆方程式，希望它们是不言而喻的，你就写出了逻辑连接。这就像评论您的代码一样。

您想选择c以使不等式成立。这意味着你的含义应该是向上的：7意味着6意味着5意味着4意味着2意味着1.然而，你用2表示更大的表达来替换2的左手边，用更大的表达式替换2的右手边不平等4.第二部分对于向下的含义是有效的，但不是向上的含义。通过更多的工作，你仍然可以建立一个更好的常数，但你没有证明这一点，所以你的推导是不完整的。

我认为本书的解决方案是，如果c> = 1，则c（x ^ 2 + y ^ 2）> = cx ^ 2 + y ^ 2。如果c> = 3且x> = y，则cx ^ 2> = x ^ 2 + 2xy，因此cx ^ 2 + y ^ 2> = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2。