Question

我尝试解决数值上简单的方程 - 没有来源的线性波动方程：u _tt = v ² u _xx

其中v - 波速。

我使用初始条件：

u（x，0）= sin（x）
u _x（x，0）= -v * sin（x）

对应于沿x轴（sin（x-vt）以速度v传播的初始波sin（x）是该波动方程的解）。

因此，问题是在2-3次迭代期间，数值解与分析答案（sin（x-vt））一致，但在第3次迭代后出现问题并且解决方案变得非常快（取值约为128）。 / p>

我使用Runge-Kutta第二种方法（Euler方法）和二阶导数的四阶近似。

这是关于C ++的代码：

//2nd derivative function

float z2der(int n, int i, int j, float* x, float** zx)
{
    float h = x[2] - x[1];
    float zr, zl, zm, zrr, zll;

    zm = -30.0 * zx[i][j];
    if (i < n - 1)
        zr = 16.0 * zx[i + 1][j];
    else
        zr = 16.0;
    if (i > 0)
        zl = 16.0 * zx[i - 1][j];
    else
        zl = 16.0;
    if (i < n - 2)
        zrr = -zx[i + 2][j];
    else
        zrr = 1.0; //CHECK
    if (i > 1)
        zll = -zx[i - 2][j];

    if (i > 1 && i < n - 2)
        return (zll + zrr + zl + zr + zm) / (12.0 * h * h);
    if (i == 1)
        return (15 / 4 * zx[i][j] - 77 / 6 * zx[i + 1][j] - 107 / 6 * zx[i + 2][j] - 13 * zx[i + 3][j] - 61 / 12 * zx[i + 4][j]) / (h*h);
    if (i == n - 2)
        return (15 / 4 * zx[i][j] - 77 / 6 * zx[i - 1][j] - 107 / 6 * zx[i - 2][j] - 13 * zx[i - 3][j] - 61 / 12 * zx[i - 4][j]) / (h*h);
    if (i == 0 || i == n - 1)
        return 0;
}


//PARAMETERS

float tmin = 0.0;
float tmax = 12.0;
int nt = 37000;
float dt = (tmax - tmin) / float(nt);
float *time = new float[nt];
for (int j = 0; j < nt; j++)
    time[j] = tmin + dt * float(j);

float xmin = -30.0;
float xmax = 30.0;
int nx = 901;
float *x = new float[nx];
for (int i = 0; i < nx; i++)
    x[i] = xmin + (xmax - xmin) * float(i) / float(nx);

float v = -0.1; // velocity

float** wave = new float*[nx];
for (int i = 0; i < nx; i++)
    wave[i] = new float[nt];

float** waved = new float*[nx];
for (int i = 0; i < nx; i++)
    waved[i] = new float[nt];

for (int i = 0; i < nx; i++)
{
    xx = x[i];
    wave[i][0] = sin(xx);
    waved[i][0] = -v * v * sin(xx);
}

float* wavedd = new float[nx];
float* waveddot = new float[nx];

for (int i = 0; i < nx; i++) //j=0;
{
    wavedd[i] = z2der(nx, i, 0, x, wave);
    waveddot[i] = v * v * wavedd[i];
}

for (int j = 0; j < nt - 1; j++)
{
    for (int i = 0; i < nx; i++)
    {
        waved[i][j + 1] = waved[i][j] + dt * waveddot[i];
        wave[i][j + 1] = wave[i][j] + dt * waved[i][j];

        wavedd[i] = z2der(nx, i, j + 1, x, wave);
        waveddot[i] = v * v * wavedd[i];
    }
}

所以，我不知道为什么会出错，原因是什么。

Answer 1

所有RK tableau值都会出现问题，因为您正在进行整数除法

return (15 / 4 * ...

由于运算符优先级，这将评估为

return (3 * ...

您需要完全使用double

return (15.0 / 4.0 * ...

将波动方程与龙格 - 库塔积分（二阶）

1 个答案: