Question

void dec_exp(Decimal *result, const Decimal *a, unsigned int b)
    {
        Decimal tmp, power = *a;
        dec_parse(result, "1");
        while (b)
        {
            if (b & 1)
            {
                tmp = *result;
                dec_mul(result, &tmp, &power);
            }
            if (b >>= 1)
            {
                tmp = power;
                dec_mul(&power, &tmp, &tmp);
            }
    }
}

其中Decimal是包含小数值的结构变量，它的长度和小数点所在的位置。

在函数中传递参数：a是基值，b是幂。并且result将在计算后存储值a ^ b。

dec_parse(Decimal &x,string y)将y解析为十进制并提取信息，如小数点位置，修剪前导零和尾随零，并将字符串转换为Decimal结构变量。

dec_mul(Decimal result, Decimal &x, Decimal &y)将乘以x和y并将结果存储在乘法后的值。

我只是想知道两个＆＃34;如果条件＆＃34;在while循环中工作，while循环何时终止，以及片段的时间复杂度。

Answer 1

在(*a)是非负整数的特殊情况下计算b ^b。

变量result初始化为一（注意a ⁰是所有a的一个）并且power被初始化为a的内容。如果result为奇数（第一个power），则每次循环都会b乘以if。第二个if右移b一位（即除以二），如果仍然为正，则为power。换句话说，power包含越来越大的(*a) ^{2 ⁿ}值。

这是一种用于计算^b的相当有效且易于实现（但不是最佳）的算法。最优算法是NP-hard并且（可能）需要大量内存。该算法易于编码，只需要很少的内存。

忽略多余的乘法，此算法最适合b = 0到b = 14。它在a ¹⁵中不是最理想的。此算法计算为a ¹⁵ a * a ² * a ⁴ * a ⁸，或六次乘法。最优计算（对decimal的调用次数最少的计算）为a ³ = a * a * {{1} }; a ¹⁵ = a ³ *（（a ³）²）²，或五次乘法。

此算法的另一个名称是从右到左的二进制求幂。它之所以称之为是因为它从a的最右边的位（1位）开始，并逐渐处理b的更高有效位。换句话说，它从左到右工作。从左到右的二进制求幂从b的最高有效位开始，并且在b的逐渐不太重要的位上工作。在将多余的乘法消除为1之后，两种算法都使用完全相同的乘法次数。

这不是＆＃34;最佳＆＃34;算法，其中最优意味着最少的乘法次数＆＃34;。例如，从右到左和从左到右的二进制求幂算法计算x ¹⁵和x ³¹为

x ¹⁵ = x * x ² * x ⁴ * x ⁸ =（（x ² * x）² * x）² * x（分别是从右到左和从左到右）
x ³¹ = x * x ² * x ⁴ * x ⁸ * x ¹⁶ =（（x ² * x）² * x）² * x）² * X

但由于15 =（4 + 1）* 3,31 = 15 * 2 + 1 =（（4 + 1）* 3）* 2 + 1和31 = 7 * 4 + 3 =（3 * 2 + 1）* 4 + 3我们也可以写：

x ¹⁵ =（x ⁴ * x）³
x ³¹ =（（x ⁴ * x）³）² * x
x ³¹ =（（（x ³）² * x）⁴）* x ³

所有都需要比二进制求幂少一个乘法。（最终的表达式需要缓存中间结果x ³，以避免计算两次。）我不知道我的x ³¹的表达式是否是最优的。即使对于数量很少的人来说，找到最佳表达也是非常困难的。您必须查看可以表达x ⁿ的所有不同方式，请记住，只需要计算一次公共中间结果。如上所述，这是NP难的。在实践中，二进制求幂虽然不是最优的，但已经足够好了。

Answer 2

b & 1测试b是否为奇数。如果是，则result设置为tmp * power。

b >>= 1将b除以2.如果结果非零，则tmp设置为power，power设置为tmp * tmp。

最终，b被除以2以至于达到零，结束while循环。

该算法是所谓的＆＃34; Russian Peasant multiplication＆＃34;的推广。叫＆＃34; Exponentiation by squaring＆＃34;。通过对中间结果（我们在第二个if测试中看到）进行平方而不是加倍，可以使用相同的基本过程进行取幂而不是乘法。

时间复杂度与b中的最高设置位成比例;如果b中的最高设置位为位 K ，则循环将迭代 K 次。也就是说，时间复杂度与b的基数2对数成比例。

任何人都可以解释下面的代码片段吗？

2 个答案: