Question

我试图弄清楚如何在一行中编写递归函数（例如阶乘，尽管我的函数要复杂得多）。为此，我考虑使用Lambda Calculus' Y combinator。

这是第一个定义：

Y = λf.(λx.f(x x))(λx.f(x x))

这是简化的定义：

Y g = g(Y g)

我试图用C＃这样写它们：

// Original
Lambda Y = f => (new Lambda(x => f(x(x)))(new Lambda(x => f(x(x)))));
// Reduced
Lambda Y = null; Y = g => g(Y(g));

（Lambda是Func<dynamic, dynamic>。我首先尝试使用using来键入，但是that didn't work，所以现在用delegate dynamic Lambda(dynamic arg);定义

我的阶乘lambda看起来像这样（改编自here）：

Lambda factorial = f => new Lambda(n =>  n == 1 ? 1 : n * f(n - 1));

我称之为：

int result = (int)(Y(factorial))(5);

但是，在这两种情况下（Y组合器的原始形式和简化形式），我最终都会出现堆栈溢出异常。从我可以推测使用简化形式，似乎它最终只是调用Y(factorial(Y(factorial(Y(factorial(...并且永远不会最终进入阶乘lambda。

由于我没有多少经验调试C＃lambda表达式而我肯定对lambda演算不了解，我真的不知道发生了什么或如何解决它。

如果重要，这个问题的灵感来自于尝试在C＃中写一行this question的答案。

我的解决方案如下：

static IEnumerable<string> AllSubstrings(string input)
{
    return (from i in Enumerable.Range(0, input.Length)
            from j in Enumerable.Range(1, input.Length - i)
            select input.Substring(i, j))
            .SelectMany(substr => getPermutations(substr, substr.Length));
}
static IEnumerable<string> getPermutations(string input, int length)
{
    return length == 1 ? input.Select(ch => ch.ToString()) :
        getPermutations(input, length - 1).SelectMany(
            perm => input.Where(elem => !perm.Contains(elem)),
            (str1, str2) => str1 + str2);
}
// Call like this:
string[] result = AllSubstrings("abcd").ToArray();

我的目标是将getPermutations写成一行自递归lambda，以便我可以将其插入SelectMany中的AllSubstrings并从AllSubstrings中删除{ {1}}。

我的问题如下：

C＃中是否可以使用Y组合器？如果是这样，我在实施中做错了什么？
如果在C＃中Y组合器可能，我如何解决子串问题（AllSubstrings函数）的单线程？
在C＃中，Y组合子是否不可能，是否还有其他编程方法允许单行AllSubstrings？

Answer 1

这是我在c＃中使用的Y-combinator的实现：

public delegate T S<T>(S<T> s);

public static T U<T>(S<T> s)
{
    return s(s);
}

public static Func<A, Z> Y<A, Z>(Func<Func<A, Z>, Func<A, Z>> f)
{
    return U<Func<A, Z>>(r => a => f(U(r))(a));
}

我可以像：

一样使用它

var fact = Y<int, int>(_ => x => x == 0 ? 1 : x * _(x - 1));
var fibo = Y<int, int>(_ => x => x <= 1 ? 1 : _(x - 1) + _(x - 2));

这真让我害怕，所以我将把你问题的下两部分留给你，以此为出发点。

我对这个功能有所了解。

这是：

var allsubstrings =
    Y<string, IEnumerable<string>>
        (_ => x => x.Length == 1
            ? new [] { x }
            : Enumerable
                .Range(0, x.Length)
                .SelectMany(i =>
                    _(x.Remove(i, 1))
                    .SelectMany(z => new [] { x.Substring(i, 1) + z, z }))
                .Distinct());

当然，你这样运行：

allsubstrings("abcd");

我得到了这个结果：

abcd 
bcd 
acd 
cd 
abd 
bd 
ad 
d 
abdc 
bdc 
adc 
dc 
abc 
bc 
ac 
c 
acbd 
cbd 
acdb 
cdb 
adb 
db 
acb 
cb 
ab 
b 
adbc 
dbc 
adcb 
dcb 
bacd 
bad 
badc 
bac 
bcad 
cad 
bcda 
cda 
bda 
da 
bca 
ca 
ba 
a 
bdac 
dac 
bdca 
dca 
cabd 
cadb 
cab 
cbad 
cbda 
cba 
cdab 
dab 
cdba 
dba 
dabc 
dacb 
dbac 
dbca 
dcab 
dcba

您的问题中的非Y-Combinator代码似乎错过了一堆排列。

在C＃中使用Y Combinator

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