2D网格中随机漫步所涵盖的区域是什么？

Question

我是一名生物学家，申请工作，我需要解决这个问题。这是一个开放的书籍测试，互联网和任何其他资源是公平的游戏。这就是问题 - 我一直坚持如何接近它，并希望指点。我的直觉被张贴在下面。

背景

你的邻居是一头有两头母牛的农夫，Clarabelle和Bernadette。每头奶牛都有自己的方形笔，一边是11米（见第一张图）。这位农民正前往城外旅游，并计划将奶牛放在各自的围栏中，这些围栏完全被草丛填满。奶牛开始在笔的中心，并将慢慢地围着笔吃草。它们非常缓慢地在笔周围移动，在每一步之后总是停下来吃饭或休息。如果你将笔分成1米的正方形，奶牛可以在每一步向任何方向移动一个方格（如棋盘上的国王），如第二张图所示。

每次移动后，如果可以的话，奶牛将在新广场吃草20分钟。一旦广场上的草被吃掉，它就永远消失了。如果母牛移动到已经吃过草的广场上，那么母牛将在那个广场上休息20分钟。 20分钟后，无论是休息还是进食，奶牛都会移动到另一个广场。如果母牛在栅栏附近的广场上，她将永远不会试图向栅栏方向移动。奶牛不会连续两次停留在同一个广场上 - 它们在休息或进食后总是会移动到另一个广场。第一张图显示了一些笔在几个小时后可能会显示的样子，棕色斑点表示已经放牧的方格。

第一头牛Clarabelle在移动时没有偏向于方向。她同样有可能随时向任何方向移动。设p是她向一个方向移动的概率，如下图所示。

第二头牛Bernadette喜欢用草地走向广场。当她走向一个已经吃过的空间时，她走向有草的空间的可能性是她的两倍，如下图所示。

问题

• 如果农民在48小时后回来，你期望Clarabelle吃掉她的笔中有多少百分比的草？
• 你认为伯纳黛特需要多长时间才能吃掉50％的草笔？
• 假设如果任何一头奶牛24小时不吃草，她就会死。预计哪头牛会存活更久？

我的直觉

这似乎是对通过二维网格的随机游走建模。例如，我可以计算出在给定时间之后在网格中的特定节点处的概率。但我不确定如何考虑牛在它走过时所覆盖的区域。非常感谢任何见解。

编辑：这里的最终目标是让我为此编写某种程序。这不是一个纯粹的数学问题，因而是这里的帖子。

Answer 1

这是一种计算概率的方法（对于Clarabelle）：

1. 从0的网格开始，除了(6, 6)单元格上的1之外，这是时间t = 0的概率网格。

2. 在t + 1时间，单元格p(x, y, t + 1)的概率(x, y)由：p(x, y, t + 1) = p1 * p(x + 1, y, t) + p2 * p(x + 1, y - 1, t) + ...给出（您在总和中有八个字词）。< / p>

请注意，所有pi都不等于：概率可以是1/3（角落），1/5（边缘）或1/8（任何其他单元格）。

您可以通过为t = 0到t = 144（48h）的每个步骤运行此网格来动态更新网格。

如果你想知道一个单元格已被吃掉的可能性，那么1 - Pn就是Pn，如果从未访问过单元格的概率，那就是(1 - p(x, y, 0)) * (1 - p(x, y, 1)) * (1 - p(x, y, 2)) * ... ，这是：

numpy

这是一个使用Python中的X计算这些概率的代码（基本上，这是考虑Markov Chain，其中状态GridSize = 11 TranSize = GridSize * GridSize T_Matrix = np.zeros((TranSize, TranSize), dtype = float) for u in range(T_Matrix.shape[0]): for v in range(T_Matrix.shape[1]): ux, uy = u % GridSize, u // GridSize vx, vy = v % GridSize, v // GridSize if u == v or abs(ux - vx) > 1 or abs(uy - vy) > 1: p = 0 elif (ux == 0 or ux == 10) and (uy == 0 or uy == 10): p = 1/3 elif ux == 0 or ux == 10 or uy == 10 or uy == 0: p = 0.2 else: p = 0.125 T_Matrix[u, v] = p pxy = np.zeros((TranSize, ), dtype = float) pxy[11 * 5 + 5] = 1 eat = 1 - pxy for _ in range(144): pxy = pxy.dot(T_Matrix) eat *= (1 - pxy) print((1 - eat).reshape((GridSize, GridSize))) 是所有单元格的集合| X | = 121 ，转移矩阵T = {T _ij }其中T _ij 是从i移动到j的概率：

p1, p2, ...

Bernadette的算法有点复杂，因为你的$('#tt').tabs('add',{ options: { title: 'New Title', href: '/vieworPartialViewUrl' } }); 是概率性的，所以每个相邻的单元格都有两个术语。

一旦掌握了所有这些概率，您就可以轻松找到所需内容。

Answer 2

有两种方法可以解决这些问题：分析或通过模拟。

如果您使用Monte-Carlo based method模拟流程，则可以通过平均多条路径的结果轻松找到答案。

我认为这是你应该做的，除非你被指导。