Question

我来自JavaScript / Ruby编程背景，我习惯这是真/假的工作方式（在JS中）：

!true
// false
!false
// true

然后您可以将这些真/假值与&&一样使用

var a = true, b = false;
a && !b;

所以和和不是（以及其他逻辑/布尔运算符）是单个系统的一部分;似乎“逻辑”系统和“布尔”系统是同一个。

但是，在Coq中，逻辑和布尔值是两个不同的东西。为什么是这样？下面的引用/链接演示了如何将定理与它们联系起来。

我们已经看到过几个可以在Coq的计算（类型）和逻辑（Prop）世界中找到类似结构的地方。这是另外一个：布尔运算符andb和orb明显是逻辑连接词∧和∨的类似物。这个类比可以通过以下定理更加精确，这些定理表明如何将关于andb和orb在某些输入上的行为的知识转化为关于这些输入的命题事实。
Theorem andb_prop : ∀b c,
  andb b c = true → b = true ∧ c = true.

http://www.seas.upenn.edu/~cis500/current/sf/Logic.html#lab211

Answer 1

基本上，Coq都有，因为它们对不同的东西很有用：布尔值对应于可以机械检查的事实（即，使用算法），而命题可以表达更多的概念。

严格地说，逻辑和布尔世界在Coq中并不是分开的：布尔世界是逻辑世界的一个子集。换句话说，你可以将短语作为布尔计算的每个语句都可以看作是一个逻辑命题（即Prop类型的东西）：如果b : bool表示一个语句，我们可以声明这个语句说b = true，Prop类型。

Coq对逻辑的不仅仅是布尔值的原因是前面语句的反转不成立：并非所有逻辑事实都可以被视为布尔计算。换句话说，不是普通编程语言（如Ruby和JavaScript）中的布尔值在Coq中包含bool和Prop，因为Prop可以表达布尔值用这些语言不能。

为了说明这一点，请考虑以下Coq谓词：

Definition commutative {T} (op : T -> T -> T) : Prop :=
  forall x y, op x y = op y x.

顾名思义，这个谓词断言运算符op是可交换的。编程语言中的许多运算符都是可交换的：例如，对整数进行乘法和加法。实际上，在Coq中我们可以证明以下陈述（我相信这些是软件基础书中的例子）：

Lemma plus_comm : commutative plus. Proof. (* ... *) Qed.
Lemma mult_comm : commutative mult. Proof. (* ... *) Qed.

现在，试着想一下如何用更传统的语言翻译像commutative这样的谓词。如果这看起来很难，那就不是偶然了：有可能证明我们不能编写一个程序，在这些语言中返回一个布尔值来测试一个操作是否可交换。您当然可以编写单元测试来检查特定输入是否适用，例如：

2 + 3 == 3 + 2
4 * 5 == 5 * 4

但是，如果您的操作员使用无限数量的输入，则这些单元测试只能覆盖所有可能情况的一小部分。因此，测试总是比完整的正式证据弱。

如果Prop可以表达布尔人可以表达的一切，你可能想知道为什么我们在Coq中打扰布尔。原因是Coq是一个建设性逻辑，这正是Vinz在他的评论中提到的。这个事实最广为人知的结果是，在Coq中我们无法证明以下直观原则：

Definition excluded_middle :=
  forall P : Prop, P \/ ~ P.

基本上说每个命题都是真或假。 “这怎么可能失败？”，你可能会问自己。粗略地说，在构造逻辑（特别是Coq）中，每个证明都对应于我们可以执行的算法。特别是，当您在构造逻辑中证明形式为A \/ B的语句时，您可以从该证明中提取（始终终止）算法，该算法可以回答A或B是否成立。因此，如果我们能够证明上述原则，我们将有一个算法，给定一些命题，告诉我们该命题是否有效。然而，可计算性理论表明，由于不可判断性，这通常是不可能的：如果我们将P表示“程序p停止输入x”，则被排除的中间会产生一个halting problem的决定者，它不存在。

现在，Coq中布尔值的有趣之处在于，通过构造，它们允许使用排除的中间，因为它们做对应于我们可以运行的算法。具体来说，我们可以证明以下内容：

Lemma excluded_middle_bool :
  forall b : bool, b = true \/ negb b = true.
Proof. intros b; destruct b; simpl; auto. Qed.

因此，在Coq中，将布尔值视为命题的一个特例是有用的，因为它们允许其他命题不具有的推理形式，即案例分析。

当然，你可以认为要求每个证据对应一个算法是愚蠢的，事实上大多数逻辑都允许排除中间的原则。默认情况下遵循此方法的证明助理的示例包括Isabelle/HOL和Mizar系统。在这些系统中，我们不必区分布尔值和命题，它们被视为同一个东西。例如，伊莎贝尔只有bool，而没有Prop。 Coq还允许您通过假设允许您对一般命题进行案例分析的公理来模糊布尔值和提议之间的区别。另一方面，在这样的设置中，当你编写一个返回布尔值的函数时，你可能无法获得可以作为算法执行的东西，而在Coq中默认情况总是如此。

为什么逻辑连接词和布尔值在Coq中分开？

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