Question

您将获得 N 项目总数， P 组，您必须在其中划分N个项目。

条件是每组持有的项目数量的乘积应该是最大值

示例 N = 10且P = 3 您可以在 {3,4,3} 中划分10项，因为 3x3x4 = 36 最大可能的产品。

Answer 1

您需要形成大约P元素的N / P组。但是，这并不总是可行的，因为N可能无法被P整除，就像你的例子一样。

因此最初形成floor(N / P)个元素组。以您为例，您将成为：

floor(10 / 3) = 3
=> groups = {3, 3, 3}

现在，将N的其余部分除以P：

10 mod 3 = 1

这意味着您必须向您的论坛分发另外一件商品（一般情况下，您最多可以分发P - 1个商品）：

for i = 0 up to (N mod P) - 1:
  groups[i]++

=> groups = {4, 3, 3} for your example

这也是一种有效的解决方案。

Answer 2

为了好玩，我得出了一个证据，证明它在最优解决方案中要么所有数字= N / P，要么数字是地板（N / P）和天花板（N / P）的某种组合。证明有点长，但在离散的背景下证明最优性很少是微不足道的。如果有人可以缩短证明，我会感兴趣。

引理：对于P = 2，如果N是偶数，则除N的最佳方式是{N / 2，N / 2}，如果N是奇数，则{floor（N / 2），ceiling（N / 2）}

这是因为两个数和为N的约束意味着这两个数是x，N-x的形式。

所得产物是（N-x）x = Nx-x ^ 2。这是一个抛开的抛物线。它的最大值位于x = N / 2的顶点。如果N是偶数，则max是整数。如果N是奇数，那么x = N / 2是一个分数，但是这样的抛物线是严格单峰的，所以越接近于n得到N / 2，产品越大。 x = floor（N / 2）（或上限，对称无关紧要）是最接近整数可以达到N / 2，因此{floor（N / 2），ceiling（N / 2）}是最优的对于整数。

一般情况：首先，存在全局最大值，因为只存在有限多个整数分区，并且有限的数字列表总是具有最大值。假设{x_1，x_2，...，x_P}是全局最优的。声明：给定和我，我们有

| x_i - x_ j | ＆lt; = 1

换句话说：最优解中的任何两个数最多相差1.这紧跟在P = 2引理之后（应用于N = x_i + x_ j）。

根据这一说法，x_i中最多有两个不同的数字。如果只有1个数字，那么这个数字显然是N / P.如果有两个数字，则它们的形式为a和a + 1。令k = x_i的数量等于a + 1，因此x_i的P-k = a。因此

（P-k）a + k（a + 1）= N，其中k是1 <= k <1的整数。 P

但是简单代数产生a =（N-k）/ P = N / P-k / P.

因此 - a是整数＆lt; N / P与N / P的差值小于1（k / P <1）因此a = floor（N / P）和a + 1 = ceiling（N / P）。

QED

在p组中划分N个项目

2 个答案: