Question

我编写了以下代码来解决Project Euler的No. 14：

为正整数集定义了以下迭代（Collatz）序列：

n → n/2 (n is even)
n → 3n + 1 (n is odd)

问：哪个起始编号低于一百万，产生最长链？

我的代码：

collatz :: Integer -> [Integer]
collatz 1 = [1] 
collatz n = 
    filter (< 1000000) prev >>= poss
    where prev = collatz (n - 1)

poss :: Integer -> [Integer]
poss prev
    | even prev && prev `mod` 3 == 1 && (prev - 1) `div` 3 > 1 = [2 * prev, (prev - 1) `div` 3]
    | otherwise = [2 * prev]

其中collatz n返回将生成长度为n的Collatz链的数字列表。问题是，我只能不限制结果或限制整个链，而不仅仅是种子数，要低于1000,000。是否可以使用此模型来解决问题？

Answer 1

我认为这种方法 - 虽然有趣 - 从根本上注定要失败。假设我发现导致长度为500的链的所有种子都超过2,000,000。我怎么知道我不会发现在三个以上的步骤中有一个低于1,000,000的种子让我在那里？我看不出你什么时候知道的。

我看到这个问题唯一可行的方法是计算从1到999,999的每个数字的collatz长度，然后做类似的事情：

main :: IO ()
main = do
  let collatzMax = maximumBy (compare `on` collatzLength) [1..999999]
  print collatzMax

另一方面，这提供了一个了解CAFs的绝佳机会，因为函数collatzLength可以被天真地定义为：

collatzLength 1 = 1
collatzLength n | n `mod` 2 == 0 = 1 + collatzLength (n `div` 2)
collatzLength n = 1 + collatzLength (3 * n + 1)

这种递归让CAF感到尖叫。

当然，有备忘录模块可以为你建立CAF，但是自己构建一个是一个很有用的练习。这是懒惰的无限递归数据结构中的一个小小的迷你课程。

如果这让你失望，你可以浏览this spoiler如何使用CAF，然后使用不同的数据结构重写它。（那么10路树而不是二叉树怎么样？怎么样以不同的顺序遍历树？你可以删除对showIntAtBase的调用吗？）

Answer 2

你的想法很有意思，虽然不是最有效的。它可能值得尝试，虽然它可能是内存密集型的。一些想法：

由于某些链条可以超过1000000，因此您无法在collatz中过滤掉少量链条。你需要保留每次通过的所有数字。
以这种方式调用collatz是低效的，因为它会再次计算集合。使其成为共享值的无限列表会更有效：
```
collatz :: [[Integer]]
collatz = [1] : map (>>= poss) collatz
```
你需要弄明白你何时完成。为此，您需要浏览collatz生成的数字列表，并计算其中有多少数量低于1000000.当您看到所有数字低于限制时，最后一个列表将包含数字最长的链条。

那就是说，我担心这种方法在计算上是不可行的。特别是，您将生成指数级数和指数级大数。例如，如果最长链为500，则该步骤中collatz的结果将包含最多2 ^ 500的数字。如上所述，没有办法分辨哪些大数字可能是导致解决方案的那个，所以你不能放弃它们。

使用非确定性列表monad来查找长的Collatz序列

2 个答案:

使用非确定性列表monad来查找长的Collat​​z序列

2 个答案:

使用非确定性列表monad来查找长的Collatz序列