为什么在整数背包中容量为1？

Question

整数背包问题的动态编程解决方案， 对于容量为C的背包，对于n个项目，其中第i个项目的大小为Si和值Vi，为：

M（C）= max（M（C-1），M（C-Si）+ Vi），其中i从1变为n

这里M是一个数组。 M（C）表示容量C的背包的最大值。

M（C-1）在这种关系中有什么用？我的意思是解决方案应该是这样的：

M（C）= max（M（C-Si）+ Vi），其中i从1变为n

我认为M（C-1）涵盖的所有案例都包含在M（C）中。

如果我错了，请举个例子。

Answer 1

我认为你必须对公式设置有点困惑 - 具体来说，你已经将包的容量与n-1项的子问题混淆了。让我们重新定义一下。

• 让P表示问题，由n项列表表示。
• 此外，让Pk代表由原始问题1...k处的索引1 <= k <= n的项目组成的子问题。因此Pn相当于P。
• 对于索引i的每件商品，让Vi表示该商品的价值，Si表示该商品的尺寸。
• 让C成为行李的容量C >= 0
• 让M(Pk, C)表示Pk描述的问题的最优解决方案，其容量为C。 M(Pk, C)返回解决方案中包含的项目列表（因此也返回最佳解决方案的值和包中的多余容量）。

对于每个项目，我们可以将其包含在最佳解决方案中，或者不将其包含在最佳解决方案中。显然，最佳解决方案是这两种选择中的哪一种更可取。唯一需要考虑的角落案例是，如果有问题的物品不能放入包中。在这种情况下，我们必须排除它。

我们可以依靠递归来覆盖每个项目，因此不需要迭代。所以一起：

M（Pk，C）= if（Sk> C）M（P（k-1），C）else max（M（P（k-1），C），Vk + M（ p（K-1），C-SK））