为什么numpy.linalg.solve（）提供比numpy.linalg.inv（）更精确的矩阵反转？

Question

我不太清楚为什么numpy.linalg.solve()会给出更精确的答案，而numpy.linalg.inv()会有所分解，给出（我相信的）估计值。

对于具体示例，我正在求解等式C^{-1} * d，其中C表示矩阵，d是向量数组。为了便于讨论，C的维度为(1000,1000)形状，d为形状(1,1000)。

numpy.linalg.solve(A, b)解决了x的等式A*x=b，即x = A^{-1} * b.因此，我可以通过

解决这个等式

（1）

inverse = numpy.linalg.inv(C)
result = inverse * d

或（2）

numpy.linalg.solve(C, d)

方法（2）给出了更精确的结果。为什么是这样？

究竟发生了什么，以便一个人能够更好地工作＆＃34;比另一个？

Answer 1

np.linalg.solve(A, b) 不计算 A 的倒数。相反，它会调用其中一个gesv LAPACK routines，它首先使用LU分解来解析 A ，然后使用前向和后向替换来解析 x （请参阅here ）。

np.linalg.inv使用相同的方法通过求解 A中的 A ^-1 来计算 A 的逆矩阵·A ^-1 = I 其中 I 是身份*。因子分解步骤与上述完全相同，但需要更多的浮点运算来解决 A ^-1 （ n×n 矩阵）而不是 x （一个 n - 长矢量）。另外，如果你想通过标识 A ^-1 ·b = x 获得 x ，那么额外的矩阵乘法会产生更多浮动点操作，因此性能降低，数值误差更大。

不需要计算 A ^-1 的中间步骤 - 直接获取 x 更快，更准确。

* inv的相关位源为here。不幸的是，理解它有点棘手，因为它是模板化的C.需要注意的重要一点是，身份矩阵作为参数B传递给LAPACK求解器。