Question

我需要一个快速算法来评估以下

((a^n-1)/(a-1)) % p

a和n几乎相等但少于10 ^ 6而p是一个固定的素数（假设为p=1000003）。我需要在1秒内计算出来。我正在使用python。 Wolfram Mathematica computes it instantly。使用以下代码

需要35.2170000076秒

print (((10**6)**(10**6)-1)/((10**6)-1))%1000003

如果该分母a-1不存在，我可以将权力分组为较小的顺序并使用关系a*b (mod c) = (a (mod c) * b (mod c)) (mod c)但是存在分母。

如何使用快速算法评估此问题？没有numpy / scipy可用。

UPDATE :: 这是我提出的最终代码

def exp_div_mod(a, n, p):
    r = pow(a, n, p*(a-1)) - 1
    r = r - 1 if r == -1 else r
    return r/(a-1)

Answer 1

<（>（（a ** n）-1）/（a-1））％p

可以改写为

<（>（（（a ** n） - 1）％（（a-1）* p））/（a-1）

这部分：

<（>（（a ** n）-1）％（（a-1）* p））

可以通过计算：

来计算

（（a ** n）％（（a-1）* p））

然后调整为-1。

通过（（a-1）* p）将a增加到第n次幂和mod。这可以使用Python pow（）函数完成。然后调整-1并除以a-1。

使用pow（）函数并传递模数值比计算完整指数然后取模数更快，因为模数可以应用于计算的每个阶段的部分乘积，从而阻止值得到太大（10 ⁶到10 ⁶的幂有600万个十进制数字，每一步都应用一个模数值，这些数值永远不会超过modulo - 在这个例子中大约13位数。）

代码：

def exp_div_mod(a, n, p):
    m = p * (a - 1)
    return ((pow(a, n, m) - 1) % m) // (a - 1);

print exp_div_mod((10**6), (10**6), 1000003)

输出：

注意：此方法仅在a，n和p为整数时有效。

Answer 2

（ a ⁿ -1）/（ a -1）是来自的总和我 = 0到 n -1 a ⁱ。

根据以下内容计算后一个mod p 非常简单：

让 F （ a ， n ）为Σ（ i = 0 .. n -1 ）{ a ⁱ}如果 n ＆gt; 0，否则为0。

现在：

F （ a ， n ）= a × F （ a ， n -1）+ 1
F （ a ，2 n ）=（ a +1）×˚F（一 ²，n）的

第二个身份是分而治之的递归。

由于这两者都只涉及加法和乘法，我们可以计算它们mod p 而不需要大于 a × p 的整数类型通过分配模数运算。（见下面的代码。）

只有第一次递归，我们就可以编写迭代解决方案：

def sum_of_powers(a, n, p):
  sum = 0
  for i in range(n): sum = (a * sum + 1) % p
  return sum

使用分而治之的递归，我们得出的东西并不复杂：

def sum_of_powers(a, n, p):
  if n % 2 == 1:
    return (a * sum_of_powers(a, n-1, p) + 1) % p
  elif n > 0:
    return ((a + 1) * sum_of_powers(a * a % p, n // 2, p)) % p
  else:
    return 0

第一个解决方案在不到一秒的时间内返回，其中n == 10 ⁶。第二个即时返回，即使n大到10 ⁹。

Answer 3

您可以乘以import Firebase from 'firebase';的{{3}}。由于费马的小定理，对于所有 x ^p-2·x≡x^p-1≡1（mod p） > 0＆lt; x＆lt; p ，所以你甚至不需要扩展的Euclid来计算逆，只需要来自标准Python的p - 1函数：

pow

该算法具有时间复杂度（log p），因为使用了modular inverse。

寻找涉及指数和除数涉及大数的余数mod

3 个答案: