找到另一个点的某个半径内的所有点

Question

我正在制作一个简单的游戏并偶然发现了这个问题。假设2D空间中的几个点。我想要的是让彼此接近的点以某种方式相互作用。

让我在这里画一张照片，以便更好地理解这个问题：

现在，问题不是计算距离。我知道该怎么做。

起初我有大约10分，我可以简单地检查每个组合，但正如你已经可以假设的那样，随着点数的增加，这是非常低效的。如果我总共有一百万分，但所有这些分数彼此相距很远怎么办？

我试图找到一个合适的数据结构或一种方法来查看这个问题，所以每个点都只能考虑周围而不是整个空间。有没有任何已知的算法？我并不完全知道如何命名这个问题，所以我可以准确地说出我想要的内容。

如果你不知道这些已知的算法，那么所有的想法都是非常受欢迎的。

Answer 1

这是 range searching 问题。更具体地说 - 2-d循环范围报告问题。

引自"Solving Query-Retrieval Problems by Compacting Voronoi Diagrams" [Aggarwal, Hansen, Leighton, 1990]：

  

  
• 输入：欧几里德平面E²中n个点的集合P
  
• 查询：查找E²中磁盘中包含的P的所有点，其中半径r以q为中心。
  

在"Optimal Halfspace Range Reporting in Three Dimensions" [Afshani, Chan, 2009]中获得了最佳结果。他们的方法需要O（n）空间数据结构，该结构支持O（log n + k）最坏情况时间的查询。该结构可以通过在O（n log n）预期时间内运行的随机算法进行预处理。 （n是输入点的数量，输出点的数量为k）。

CGAL库支持循环范围搜索查询。请参阅here。

Answer 2

您仍然需要遍历每一点，但您可以执行两项优化：

1）你可以通过检查x1是否来消除明显的点。半径和y1＆lt;半径（就像布伦特在另一个答案中已提到的那样）。

2）您可以计算距离的平方并将其与允许半径的平方进行比较，而不是计算距离。这样可以避免执行昂贵的平方根计算。

这可能是您将获得的最佳表现。

Answer 3

空间分区就是你想要的...... https://en.wikipedia.org/wiki/Quadtree

Answer 4

如果您可以按x和y值对这些点进行排序，那么您可以快速选出那些位于中心点框内的点（二进制搜索？）：x + - r，y + - r 。一旦你有了这个点的子集，那么你可以使用距离公式来看它们是否在半径范围内。

Answer 5

这看起来像是最近邻居的问题。您应该使用kd树来存储点。

https://en.wikipedia.org/wiki/K-d_tree

Answer 6

我假设您具有最小和最大X和Y坐标？如果是这样的话。

调用我们的半径R，Xmax-Xmin X和Ymax-Ymin Y。

具有[X / R，Y / R]双向链接列表的2D矩阵。将每个点结构放在正确的链表上。

要查找需要与之交互的点，只需检查您的单元格以及您的8个邻居。

示例：如果X和Y分别为100，R为1，则在单元格[43,77]中的43.2、77.1处放置一个点。您将检查单元格[42,76] [43,76] [44,76] [42,77] [43,77] [44,77] [42,78] [43,78] [44,78]比赛。请注意，并非您自己的框中的所有单元格都会匹配（例如43.9,77.9在同一列表中，但相距超过1个单位），并且您将始终需要检查所有8个邻居。

随着点的移动（听起来像它们会移动吗？），您只需断开它们的链接（使用双向链接列表即可轻松快捷）并在其新位置重新链接。移动任何点都是O（1）。全部移动为O（n）。

如果该数组大小提供了太多的单元格，则可以使用相同的算法和可能相同的代码制作更大的单元格；只是为较少的候选点做好实际接近做好准备。例如，如果R = 1且地图是R的一百万乘以R的一百万，那么您将无法制作那么大的2D数组。最好让每个单元格宽1000个单位？只要密度较低，就可以使用与以前相同的代码：仅将每个点与该单元格中的其他点以及相邻的8个单元格进行对照。为更多不在R范围内的候选人做好准备。

如果某些单元格会有很多点，每个单元格都有一个链表，那么该单元格应该有一个由X坐标索引的红黑树吗？即使在同一个单元中，绝大多数其他单元成员也距离太远，因此只需将树从X-R遍历到X + R。与其遍历所有点，而不是潜入每个人的树中，不如您可以遍历树，在R内寻找X坐标，如果/当发现它们时计算距离。当您从低X到高X遍历一个单元格的树时，只需在前R个条目中检查左侧树的相邻单元格即可。

您还可以转到小于R的像元。候选像的数量较少，但未能足够接近。例如，对于R / 2，您将检查25个链接列表而不是9个，但是平均（如果随机分布）要检查的点数为25/36分。这可能是次要的收获。