Question

受到StackOverflow上的另一个问题的启发，我将密集向量定义为具有option A类型元素的向量，该元素仅包含Some _个元素，并且没有{{1} } elements。

None

我如何证明以下两个引理？

Require Import Vector.
Section Dense.
  Variable A:Type.

  Inductive Is_dense : forall n, t (option A) n -> Prop :=
  | snil : Is_dense 0 (nil _)
  | scons: forall n s, Is_dense n s -> forall a, Is_dense (S n) (cons _ (Some a) _ s).

和

  Lemma Is_dense_tl: forall n (s: t (option A) (S n)),
                     Is_dense (S n) s -> Is_dense n (tl s).

而且，在第一个引理中，当我Lemma dense_hd: forall n (s: t (option A) (S n)), Is_dense (S n) s -> A.时，我得到了inversion s.的构造函数使用的元素h n' X，但我怎样才能得到一个相等的s { {1}}？

Answer 1

由于类型依赖性，inversion无法直接生成您期望的内容，因为它通常不正确。但是，对于大型系列类型来说确实如此，其等式 decidable 。在您的情况下，如果您提供Eqdep_dec.inj_pair2_eq_dec上的相等性是可判定的（并且它是），则可以应用nat来获得所需的相等性。

以下是第一个引理的证据：

Lemma Is_dense_tl: forall n (s: t (option A) (S n)),
                     Is_dense (S n) s -> Is_dense n (tl s).
Proof.
intros n s hs.
inversion hs; subst; clear hs.
apply Eqdep_dec.inj_pair2_eq_dec in H0.
- now rewrite <- H0; simpl.
- (* insert proof of decidablity *) admit.
Qed.

编辑：关于你对第二个引理的评论。

你的两个引理之间的主要区别在于第一个试图证明属于Is_dense n (tl s)的属性Prop，而第二个试图展示A类型的术语。简而言之，前者创建了一个排序Prop的术语，后者是一个排序Type的术语。

为了避免Coq逻辑中的不一致，有一个层次结构来组织排序，这是（不完全是，但为了给你粗略的想法）Prop: Set Set:Type_0和Type_n: Type_n+1。在此层次结构的顶部构建了一个类型系统，其中依赖对（例如，类型{n: nat | even n }是偶数自然数的类型）受到限制。您可以从其他Prop（例如Prop生活forall p:Prop, p -> p）中构建Prop。但是，当涉及Type时，您需要小心。例如，（再次，请参阅Coq的文档以获取确切的陈述）forall n:Type_i, Type_j的类型为Type_max(i,j)。

这个限制是为了避免Coq类型系统中的不一致（如Russel的悖论）。

在您的情况下，您尝试检查（使用inversion）一个排序Prop（Is_dense (S n) s）的术语，以构建类型A的术语，排序Type。类型系统禁止这样做。要构建排序Type的术语，您需要检查至少排序Set的术语。在您的示例中，您所要做的就是将Is_dense的定义更改为Type而不是Prop，并且您很高兴。

归纳定义的密集矢量引理

1 个答案: