计算组合时溢出

Question

我正在尝试用C ++计算组合C（40,20），但是C ++中的数据类型似乎无法正确处理此计算，即使我使用了long long数据类型。以下是我的代码：

#include <iostream>

long long fac(int x) {
    register long long i,f = 1; // Optimize with regFunction
    for(i = 1;i <= x;i++)
        f *= i;
    std::cout << f << std::endl;
    return f;
}

// C(n,r) = n!/r!(n-r)!
long long C(long long n, long long r) {
    return fac(n) / (fac(r) * fac(n - r));
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    std::cout << C(40, 20) << std::endl;
    return 0;
}

有什么想法解决这个问题？

Answer 1

在乘法后立即执行除法，立即计算C：

long long C(long long n, long long r) 
{
    long long f = 1; // Optimize with regFunction
    for(auto i = 0; i < r;i++)
        f = (f * (n - i)) / (i + 1);
    return f ; 
}

结果应该是精确的（没有余数的除法，直到溢出），因为（i + 1）中存在的任何整数因子已经存在于（n -i）中。 （不应该太难证明）

Answer 2

您的数字增长太多，这是此类计算中的常见问题，我担心没有直接的解决方案。即使您可能会减少一些乘法次数，您可能仍会因long long

而溢出。

你可能想检查一下：

https://mattmccutchen.net/bigint/

https://gmplib.org/

我知道在这个问题上有不同的算法方法。我记得有一些解决方案使用字符串来存储整数表示和东西但是@Konrad提到这可能是一个很糟糕的方法。

Answer 3

问题是阶乘很快变大。 40！太大而无法存储在long long中。幸运的是，您实际上并不需要在此计算此数字，因为您可以在计算C(n, r)之前减少计算中的分数。这产生了等式（来自Wikipedia）：

自 k 以来效果更好！ （ r ！在你的代码中）是一个比 n ！小得多的数字。但是，在某些时候它也会崩溃。

或者，您也可以通过实现递归算法来使用递归定义。但是，除非您记忆中间结果，否则这将是非常效率低（指数运行时间）。

Answer 4

一种懒惰的方法是使用支持多种精度的库，例如GNU GMP。

正确安装后（可从大多数Linux发行版的存储库获得），可归结为：

• 将#include <gmpxx.h>添加到源文件
• 将long long替换为mpz_class
• 使用-lgmpxx -lgmp
进行编译

来源：

#include <iostream>
#include <gmpxx.h>

mpz_class fac(mpz_class x) {
    int i;
    mpz_class f(1); // Optimize with regFunction
    for(i = 1;i <= x;i++)
        f *= i;
    std::cout << f << std::endl;
    return f;
}

// C(n,r) = n!/r!(n-r)!
mpz_class C(mpz_class n, mpz_class r) {
    return fac(n) / (fac(r) * fac(n - r));
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
    std::cout << C(40, 20) << std::endl;
    return 0;
}

编译并运行：

$ g++ comb.cpp -lgmpxx -lgmp -o comb
$ ./comb
2432902008176640000
2432902008176640000
815915283247897734345611269596115894272000000000
137846528820

如果你想要彻底，你可以做更多，但这会得到答案。

Answer 5

即使您使用了uint64又名ulonglong，最大值为18446744073709551615而40！是815915283247897734345611269596115894272000000000，有点更大。

我建议您使用GMP进行此类数学