R:等渗回归最小化

时间:2015-06-20 00:01:46

标签: r regression mathematical-optimization linear-programming minimization

我想最小化以下等式:

F=SUM{u 1:20}sum{w 1:10}   Quw(ruw-yuw)

具有以下约束:

yuw >= yu,w+1
yuw >= yu-1,w
y20,0 >= 100
y0,10 >= 0

我有一个20 * 10 ruw和20 * 10 quw矩阵,我现在需要生成一个符合约束条件的yuw矩阵。我在R编码,熟悉lpsolve和optimx包,但不知道如何使用它们来解决这个问题。

1 个答案:

答案 0 :(得分:3)

由于Quwruw都是数据,因此yuw决策变量中的所有约束和目标都是线性的。因此,这是一个线性编程问题,lpSolve包可以解决这个问题。

为了抽象出来,我们假设R=20C=10描述了输入矩阵的维数。然后有R*C个决策变量,我们可以为它们分配顺序y11, y21, ... yR1, y12, y22, ... yR2, ..., y1C, y2C, ..., yRC,读取变量矩阵的列。

目标中每个yuw变量的系数为-Quw;请注意,求和中的Quw*ruw项是常量(也不受我们为决策变量选择的值的影响),因此不会输入到线性编程求解器。有趣的是,这意味着ruw实际上对优化模型解决方案没有影响。

第一个R*(C-1)约束对应yuw >= yu,w+1约束,下一个(R-1)*C约束对应yuw >= yu-1,w约束。最后两个约束对应于y20,1 >= 100y1,10 >= 0约束。

我们可以使用以下R命令将此模型输入到lpsolve包中,将每个条目为-1的简单Q矩阵作为输入(所得到的解决方案应将所有决策变量设置为0,除了底部左角,应该是100):

# Sample data
Quw <- matrix(-1, nrow=20, ncol=10)
R <- nrow(Quw)
C <- ncol(Quw)

# Build constraint matrix
part1 <- matrix(0, nrow=R*(C-1), ncol=R*C)
part1[cbind(1:(R*C-R), 1:(R*C-R))] <- 1
part1[cbind(1:(R*C-R), (R+1):(R*C))] <- -1
part2 <- matrix(0, nrow=(R-1)*C, ncol=R*C)
pos2 <- as.vector(sapply(2:R, function(r) r+seq(0, R*(C-1), by=R)))
part2[cbind(1:nrow(part2), pos2)] <- 1
part2[cbind(1:nrow(part2), pos2-1)] <- -1
part3 <- rep(0, R*C)
part3[R] <- 1
part4 <- rep(0, R*C)
part4[(C-1)*R + 1] <- 1
const.mat <- rbind(part1, part2, part3, part4)

library(lpSolve)
mod <- lp(direction = "min",
          objective.in = as.vector(-Quw),
          const.mat = const.mat,
          const.dir = rep(">=", nrow(const.mat)),
          const.rhs = c(rep(0, nrow(const.mat)-2), 100, 0))

我们现在可以访问模型解决方案:

mod
# Success: the objective function is 100
matrix(mod$solution, nrow=R)
#       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
#  [1,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [2,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [3,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [4,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [5,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [6,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [7,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [8,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
#  [9,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [10,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [11,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [12,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [13,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [14,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [15,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [16,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [17,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [18,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [19,]    0    0    0    0    0    0    0    0    0     0
# [20,]  100    0    0    0    0    0    0    0    0     0

请注意,如果更改Quw,您的模型很容易变得不可行(例如,如果我们用1填充而不是-1)。在这些情况下,模型将退出状态3(您可以通过运行modmod$status来查看此内容。