3d几何：如何插入矩阵

Question

我将对象的位置存储在4by4变换矩阵中的3d空间中。 现在为了将对象从存储在矩阵A中的位置移动到存储在矩阵B中的位置，我想插入它们。

所以我只是通过插入矩阵中的16个值中的每一个来做到这一点，或者我是否必须特别注意某些事情？

谢谢！

Answer 1

查看Ken Shoemake和Tom Duff的Matrix Animation and Polar Decomposition 。基本思想是将转换矩阵分解为有意义的组件，如拉伸，旋转和平移，然后插入这些组件。

Answer 2

如果插入矩阵的所有16个条目，结果将看起来很奇怪，因为插值矩阵不会是刚性变换（您将得到偏斜和体积变形）。正确的做法是分离平移和旋转/缩放，为您提供平移向量T和3x3旋转矩阵R（这只适用于假设您的原始4x4表示刚性变换）。然后对3x3 R = Q'DQ进行特征值分解（tick表示转置），给出正交Q和对角线缩放D.现在线性插值T和D，同时slerp Q列，和然后你重新组装矩阵。

Answer 3

我假设你问的是，你有一个对象 x ，你已经应用linear transformation A 来获取< strong> Ax ，现在你想要对它进行转换，如果你应用了其他转换 B 即它将处于 所处的位置。从 Ax 转换为 Bx 。

假设 A 为invertible，只需应用 BA ^-1 即可获得 BA ^{-1 < / sup>（Ax）} = Bx

[编辑] 由于您提到移动，您可能会谈论affine transformation （线性转换后跟翻译）。如果是这种情况，您希望移动
从 Ax + C 到 Bx + D 。

为此，减去 C （即将对象移动到原点），应用 BA ^-1 ，然后添加 d ：
（BA ^-1 （（Ax + C） - C））+ D = Bx + D

Answer 4

只是插入矩阵值可能无法提供您想要的内容，除非您只进行非常简单的转换（例如，平移或缩放）。

我认为有一些方法可以将矩阵分解为平移，旋转，缩放等，然后您可以构建基于这些参数进行插值的新矩阵。

您也可以在转换前后进行转换，然后对对象的顶点进行lerp。这也可能无法为您提供您所追求的结果。

Answer 5

让我重新提一下你的问题：

您需要在R0和R1之间进行插值。

并建议将其作为：

  

Ri = aR0 +（1-a）R1

它不会很好，正如胜利者在他/她的回答中提到的那样：你会出现扭曲和体积变形。

在数学上（在三维几何上下文中），加法没有多大意义：添加两个平移矩阵是什么意思？

已建立的解决方案是插值为：

  

Ri =（R1 *（反（R0）））^ a * R0

我们将R ^ a定义为一个操作，它给我们一个关于向量[kx，ky，kz]的旋转* theta度。

所以当a = 0时，Ri = R0;当a = 1时，Ri = R1。这使得基于乘法的插值，这在3d几何上下文中更自然。

现在很难如何表示操作R ^ a。结果使用R的quaternion representation允许我们表示操作R ^ a。基于Ken Shoemake的论文animating rotation with quaternion curves

Answer 6

可以在WebKit项目中找到具有无限制许可的用于变换矩阵插值的源代码；请参阅称为“混合”的函数，它们会创建一个插值矩阵：

for general 4 x 4 matrices

for six-element affine transforms used in 2D graphics

所有文件（包括标题）都可以在enclosing directory中找到。

但是我刚刚尝试了2D仿射代码，并且在旋转之间进行插补时，它不保留旋转中心。所以我现在不确定它是否有用。