Question

基于Healpy / Healpix文档，我无法理解天空图中的一个像素（这是一些测量值）与Healpy的healpy.sphtfunc.map2alm函数产生的球谐系数之间的关系，计算给定地图的a_lm系数数组。（这个问题也适用于anafast。）

我的理解是给定的像素应该对应于球谐系数。但是，它没有。完全没有。

使用nside = 8拍摄地图。该程序使用Healpy以FITS格式读取CMB地图，手动设置nside值，在地图中读取，显示它，然后计算球谐系数。

import math
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np
import healpy as hp
import pyfits as pf

filename = "cmb_map.fits"    # the name of the full-sky map 

readmap = hp.read_map(filename)   # readmap i.e. input map
nside = 8    # manually input the side value

''' 
Here outputs: 
NSIDE = 8
ORDERING = RING in fits file
'''

view = hp.mollview(readmap)  # view the map, i.e. display it
'''
Shows sky map of the CMB
'''

totalnumberpixels = hp.nside2npix(nside)
print totalnumberpixels      # For nside = 8, this should be 12*nside**2 = 768

arr = hp.map2alm(readmap)    # This is an array of a_lm values

到目前为止一切顺利。 hp.map2alm()函数现在返回300个值，即300个球谐系数a_lm。

arr.shape

输出＆＃34; （300，）＆＃34;。

为什么768像素计算为300 a_lm值？ nside与球谐系数总数之间是否存在数学关系？每个nside是否给出了不同数量的a_lm系数？

计算一个a_lm需要多少像素？任何帮助/解释都非常感谢！

编辑：如下所述，像素总数为npix = 12*nside**2。 map2alm使用默认的lmax = 3*nside-1。因此，球谐系数的总数应该是奇数到3*nside-1=23的总和。球谐系数的总数应为（2 * lmax + 1）** 2 =（6 * nside-1）** 2。（2 * lmax + 1）^ 2 =（2 * 23 + 1）^ 2 =（47）^ 2 = 2209.那么，这个数字300来自哪里？ map2alm到底在做什么？这怎么可能只是一个近似值？

我期待2209 a_lm。我计算了300.

Answer 1

像素和球谐系数之间没有直接关系。

你可以想象它是这样的：地图像素是数据和球形谐波函数你“适合”数据。球谐函数是一个无穷多（正交）函数的系统。

现在你没有“适应”数据（像素）的无限多个函数，有限制，你设置lmax或mmax或两者。（球谐函数通常用两个数字l和m标记/标识）。

l和m是整数，l从0到无穷大，对于每个l，m从-m到m。

因此，例如，如果lmax为2且对m没有限制，则表示您正在处理1 + 3 + 5 = 9个函数。因此，你将有9个alm系数，（=“拟合”的结果），独立于地图的像素数。

好到目前为止一切顺利。现在，球谐函数是复杂函数，系数也是如此。但这些地图纯粹是真实的。因此，当读取球谐波（维基百科足够好）时，人们会发现如何定义球谐波的真实基础，基本上使用Y_l，m =（ - 1）^ m Y * _l，-m的属性，其中star表示复杂的结合。

现在如果你使用复数作为这个基础函数的参数，你需要多少？对于给定的l，您将需要l + 1个复数（请记住，我们从l = 0开始计算）。如果你总结给我，你会得到：

l=0 --> 1
l=1 --> 1+2=3
l=2 --> 1+2+3=6
l=3 --> 1+2+3+4=10
etc.

（注意如果你总结这个最多3 * nside-1你得到300 for nside 8）

同样重要的是要注意，对于这些复数系数的正好l + 1，它们的虚部将为零！（对应于Y_l0的那些）。现在，如果计算独立参数的数量，例如l = 3：

l=3 --> 1+2+3+4=10

所以10个复数= 20个独立参数。但其中4个只有20-4 = 16的真实部分。正是人们所期望的，因为完全虚构的Y_lm有32个独立参数，所以真实部分将有一半。

Answer 2

因此，如上所述，参数l_max确定球谐系数的数量a_ {lm}。对于l参数，数量从a_0变为a_{lmax}。 m参数由l_{max}, l_{max}-1, l_{max}-2, ...., -l_{max}+2, -l_{max}+1, -l_{max}确定。

因此，每m个l值的总数由2l+1给出，例如l=0提供1 m，l=1提供3 m，l=2提供5 m等等。

Healpix / Healpy使用的map2alm函数接受输入参数nside，然后默认使用3*nside-1计算球谐函数。

但是，nside也会确定每张地图的总像素数。像素总数npix由npix = 12*nside**2给出。

要审核：

npix = 12 * nside ** 2

l_max = 3 * nside - 1

因此，球谐系数的总数是i=0到i= 2 * lmax + 1的和系列。使用map2alm的默认参数，这为我们提供了从i=0到i = 6 * nside - 1的总和（即2(3*nside-1) + 1）

对于给定地图，总像素数为12 * nside ** 2，球面调和系数总数a_lm为i=0 to i= 6*nside-1的总和。

正确？

Healpy / Healpix：总像素与总球谐系数之间的关系是什么？

2 个答案: