Question

许多catamorphisms似乎很简单，大多数用自定义函数替换每个数据构造函数，例如

data Bool = False | True
foldBool :: r              -- False constructor
         -> r              -- True constructor
         -> Bool -> r

data Maybe a = Nothing | Just a
foldMaybe :: b             -- Nothing constructor
          -> (a -> b)      -- Just constructor
          -> Maybe a -> b

data List a = Empty | Cons a (List a)
foldList :: b              -- Empty constructor
         -> (a -> b -> b)  -- Cons constructor
         -> List a -> b

但是，我不清楚如果使用相同类型的构造函数但使用不同类型的参数会发生什么。例如。而不是将List a传递给Cons，而不是

data List a = Empty | Cons a (List (a,a))

或者，也许是一个更疯狂的案例：

data List a = Empty | Cons a (List (List a))
foldList :: b              -- Empty constructor
         -> ???            -- Cons constructor
         -> List a -> b

我对???部分的两个看似合理的想法是

(a -> b -> b)，即递归替换List构造函数的所有应用程序）
(a -> List b -> b)，即仅替换所有List a个应用程序。

两者中的哪一个是正确的 - 为什么？或者它会完全不同吗？

Answer 1

这只是部分答案。

OP提出的问题是：如果在非常规递归类型的情况下定义fold / cata？

由于我不相信自己能够做到这一点，我会求助于Coq。让我们从简单的常规递归列表类型开始。

Inductive List (A : Type) : Type :=
  | Empty: List A
  | Cons : A -> List A -> List A
.

此处没有任何内容，List A是根据List A定义的。（记住这一点 - 我们会回复它。）

cata怎么样？让我们查询归纳原理。

> Check List_rect.
forall (A : Type) (P : List A -> Type),
   P (Empty A) ->
   (forall (a : A) (l : List A), P l -> P (Cons A a l)) ->
   forall l : List A, P l

让我们看看。以上漏洞依赖类型：P取决于列表的实际值。在P list是常量类型B的情况下，我们只需手动简化它。我们获得：

forall (A : Type) (B : Type),
   B ->
   (forall (a : A) (l : List A), B -> B) ->
   forall l : List A, B

可以等效地写为

forall (A : Type) (B : Type),
   B ->
   (A -> List A -> B -> B) ->
   List A -> B

foldr除了＆＃34;当前列表＆＃34;也传递给二元函数参数 - 不是主要区别。

现在，在Coq中，我们可以用另一种略有不同的方式定义一个列表：

Inductive List2 : Type -> Type :=
  | Empty2: forall A, List2 A
  | Cons2 : forall A, A -> List2 A -> List2 A
.

它看起来是相同的类型，但有一个深刻的区别。在这里，我们没有根据List A定义List A类型。相反，我们根据List2 : Type -> Type定义类型函数List2。这一点的主要观点是List2的递归引用不必应用于A - 事实上，我们这样做只是一个事件。

无论如何，让我们看一下归纳原则的类型：

> Check List2_rect.
forall P : forall T : Type, List2 T -> Type,
   (forall A : Type, P A (Empty2 A)) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A), P A l -> P A (Cons2 A a l)) ->
   forall (T : Type) (l : List2 T), P T l

让我们像之前一样从List2 T删除P参数，基本上假设P是常量。

forall P : forall T : Type, Type,
   (forall A : Type, P A ) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List2 A), P A -> P A) ->
   forall (T : Type) (l : List2 T), P T

等效改写：

forall P : (Type -> Type),
   (forall A : Type, P A) ->
   (forall (A : Type), A -> List2 A -> P A -> P A) ->
   forall (T : Type), List2 T -> P T

大致对应，用Haskell表示法

(forall a, p a) ->                          -- Empty
(forall a, a -> List2 a -> p a -> p a) ->   -- Cons
List2 t -> p t

不是那么糟糕 - 基本案例现在必须是多态函数，就像Haskell中的Empty一样。这有点道理。同样，归纳案例必须是多态函数，就像Cons一样。还有一个额外的List2 a参数，但如果需要，我们可以忽略它。

现在，上面仍然是常规类型的折叠/ cata。那些非常规的呢？我会学习

data List a = Empty | Cons a (List (a,a))

在Coq中变为：

Inductive  List3 : Type -> Type :=
  | Empty3: forall A, List3 A
  | Cons3 : forall A, A -> List3 (A * A) -> List3 A
.

具有归纳原理：

> Check List3_rect.
forall P : forall T : Type, List3 T -> Type,
   (forall A : Type, P A (Empty3 A)) ->
   (forall (A : Type) (a : A) (l : List3 (A * A)), P (A * A) l -> P A (Cons3 A a l)) ->
   forall (T : Type) (l : List3 T), P T l

删除＆＃34;依赖＆＃34;部分：

forall P : (Type -> Type),
   (forall A : Type, P A) ->
   (forall (A : Type), A -> List3 (A * A) -> P (A * A) -> P A ) ->
   forall (T : Type), List3 T -> P T

在Haskell表示法中：

   (forall a. p a) ->                                      -- empty
   (forall a, a -> List3 (a, a) -> p (a, a) -> p a ) ->    -- cons
   List3 t -> p t

除了额外的List3 (a, a)参数之外，这是一种折叠。

最后，OP类型怎么样？

data List a = Empty | Cons a (List (List a))

唉，Coq不接受类型

Inductive  List4 : Type -> Type :=
  | Empty4: forall A, List4 A
  | Cons4 : forall A, A -> List4 (List4 A) -> List4 A
.

因为内部List4出现不是严格的正面位置。这可能暗示我应该停止懒惰并使用Coq来完成工作，并开始自己考虑所涉及的F-algebras ...; - ）

对于非常规递归类型，catamorphism（fold）的类型是什么？

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